§14．3 等腰三角形
1.等腰三角形
知識要點
1．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．
2．三角形按邊分類：三角形
3．等腰三角形是軸對稱圖形，其性質是：
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
4．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
例：如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點F是CD的中點．求證：AF⊥CD.
分析：要證明AF⊥CD，而點F是CD的中點，聯(lián)想到這是等腰三角形特有的性質，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質得到結論．
證明：連接AC、AD 在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SAD） ∴AC=AD（全等三角形的對應邊相等）
又∵△ACD中AF是CD邊的中線（已知）
∴AF⊥CD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）
練習題
(第一課時)
§14．2 軸對稱變換
1.軸對稱變換
知識要點
1．由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換．成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到．
2．軸對稱變換的性質：
（1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣
（2）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于對稱軸的對稱點．
（3）連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．
3．作一個圖形關于某條直線的軸對稱圖形的步驟：
（1）作出一些關鍵點或特殊點的對稱點．
（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形．
典型例題
例：在銳角∠AOB內(nèi)有一定點P，試在OA、OB上確定兩點C、D，使△PCD的周長最短．
分析：△PCD的周長等于PC+CD+PD，要使△PCD的周長最短，根據(jù)兩點之間線段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某兩點之間的距離，于是考慮作點P關于直線OA和OB的對稱點E、F，則△PCD的周長等于線段EF的長．
②作點P關于直線OB的對稱點F；
③連接EF分別交OA、OB于點C、D．則C、D就是所要求作的點．
證明：連接PC、PD，則PC=EC，PD=FD．
在OA上任取異于點C的一點H，連接HE、HP、HD，則HE=HP．
∵△PHD的周長
=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF
而△PCD的周長
=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF
∴△PCD的周長最短．
練習題
第十四章 生活中的軸對稱
§14.1 軸對稱
知識要點
1．軸對稱圖形和軸對稱
（1）如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．毛
（2）有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸．
（3）有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點．兩個圖形關于直線對稱也叫做軸對稱．
（4）圖形軸對稱的性質：如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
（5）軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關系，成軸對稱的兩個圖形是全等形；軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形是全等形，并且成軸對稱．
2．線段的垂直平分線
（1）經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）．
（2）線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個端點距離相等的所有點的集合．
例：如圖，點D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點，DG⊥AB于點G，DH⊥AC交AC的延長線于點H，求證BG=CH．
分析：由AD平分∠BAC及DG⊥AB、DH⊥AC可以得到DG=DH（角平分線的性質），而DE是BC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可得到BD=CD，于是可利用“HL”證明Rt△BDG≌Rt△CDH得到BG=CH．
證明：連接BD、CD ∵點D在∠BAC的平分線上，又DG⊥AB、DH⊥AC；
∴DG=DH（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）
∵DE是BC的垂直平分線
∴DB=DC（線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）
∵DG⊥AB、DH⊥AC ∴∠BGD=∠CHD=90°
在Rt△BDG和Rt△CDH中，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL） ∴BG=CH（全等三角形的對應邊相等）
練習題
(第一課時)
12.2.2 用直方圖描述數(shù)據(jù)
知識要點
1．繪制頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖時要將一批數(shù)據(jù)分組，組距和組數(shù)的確定沒有固定的標準，通常數(shù)據(jù)越多，所分的組數(shù)也越多，當數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，根據(jù)數(shù)據(jù)的多少常分成5─12組．一般地，所分的小組里含最小值，不含最大值，即數(shù)據(jù)x滿足a≤x<b．
2．頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布的兩種不同表現(xiàn)形式，前者準確，后者直觀．
3．描述頻數(shù)分布情況還可以用頻數(shù)折線圖來刻畫數(shù)據(jù)的總體規(guī)律．
典型例題
例：劉楊陽調(diào)查了他們班50名同學的身高（單位：厘米），請你幫助他用統(tǒng)計圖來描述所得的數(shù)據(jù)．
158 157 157 157 169 155 155 141 165 144 171 145 158 145 150 150 157 168 154 168 154 168 149 150 150 154 155 157 162 163 155 160 152 152 145 160 160 163 163 148 159 152 159 144 160 158 162 172 155 145 168 155
分析：取組距為5，將數(shù)據(jù)分成7組，繪制頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折圖來分析數(shù)據(jù)．
解：首先觀察到這組數(shù)據(jù)中最大值是172，最小值是141，它們的差是31．若取組距為5，由于31÷5≈7，因此要將整個數(shù)據(jù)分為7組，用x（厘米）表示身高，則所分的組為141≤x<146，146≤x<151，151≤x<156，……，171≤x<176．整理可得下列頻數(shù)分布表：
用橫軸表示身高，等距離標出各組的端點141、146、151、……171、176，用縱軸表示頻數(shù)，等距離標出4、8、12、16等，以各組的頻數(shù)為高畫出與這一組對應的長方形，得到下面的頻數(shù)分布直方圖（如圖1）取直方圖中每一個長方形上邊的中點，然后在直方圖的左邊取點（138.5，0），在直方圖的右邊取點（178.5，0），將這些點用線段依次連接起來，就得到頻數(shù)折線圖（如圖2）
（1） （2）
同步練習
11.3.2 一次函數(shù)與一元一次不等式
知識庫
1．解一元一次不等式可以看作是:當一次函數(shù)值大于（或小于）0時，求自變量相應的取值范圍．
2．解關于x的不等式kx+b>mx+n可以轉化為：
（1）當自變量x取何值時，直線y=（k-m）x+b-n上的點在x軸的上方．
或（2）求當x取何值時，直線y=kx+b上的點在直線y=mx+n上相應的點的上方．（不等號為“<”時是同樣的道理）
魔法師
例：用畫圖象的方法解不等式2x+1>3x+4
分析：（1）可將不等式化為-x-3>0，作出直線y=-x-3，然后觀察：自變量x取何值時，圖象上的點在x軸上方？
或（2）畫出直線y=2x+1與y=3x+4，然后觀察：對于哪些x的值，直線y=2x+1上的點在直線y=3x+4上相應的點的上方？
解：方法（1）原不等式為：-x-3>0，在直角坐標系中畫出函數(shù)y=-x-3的圖象（圖1）．從圖象可以看出，當x<-3時這條直線上的點在x軸上方，即這時y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．
方法（2） 把原不等式的兩邊看著是兩個一次函數(shù)，在同一坐標系中畫出直線y=2x+1與y=3x+4（圖2），從圖象上可以看出它們的交點的橫坐標是x=-3，因此當x<-3時，對于同一個x的值，直線y=2x+1上的點在直線y=3x+4上相應點的上方，此時有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．
(1) (2)
演兵場
☆我能選
1．直線y=x-1上的點在x軸上方時對應的自變量的范圍是（ ）
A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤1
2．已知直線y=2x+k與x軸的交點為（-2，0），則關于x的不等式2x+k<0的解集是（ ）
A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-2
3．已知關于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，則直線y=ax+1與x軸的交點是（ ）
A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0）
☆我能填
4．當自變量x的值滿足____________時，直線y=-x+2上的點在x軸下方．
5．已知直線y=x-2與y=-x+2相交于點（2，0），則不等式x-2≥-x+2的解集是________．
6．直線y=-3x-3與x軸的交點坐標是________，則不等式-3x+9>12的解集是________．
7．已知關于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，則直線y=-kx+2與x軸的交點是__________．
8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，則直線y=-x+5與y=3x-3的交點坐標是_________．
☆我能答
9．某單位需要用車，準備和一個體車主或一國有出租公司其中的一家簽訂合同，設汽車每月行駛xkm，應付給個體車主的月租費是y元，付給出租車公司的月租費是y元，y，y分別與x之間的函數(shù)關系圖象是如圖11-3-4所示的兩條直線，觀察圖象，回答下列問題：
（1）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時，租國有出租車公司的出租車合算？
（2）每月行駛的路程等于多少時，租兩家車的費用相同？
（3）如果這個單位估計每月行駛的路程為2300km，那么這個單位租哪家的車合算？
10．在同一坐標系中畫出一次函數(shù)y1=-x+1與y2=2x-2的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）寫出直線y1=-x+1與y2=2x-2的交點P的坐標．
（2）直接寫出：當x取何值時y1>y2；y1<y2
探究園
12．已知函數(shù)y1=kx-2和y2=-3x+b相交于點A（2，-1）
（1）求k、b的值，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象．
（2）利用圖象求出：當x取何值時有：①y1<y2；②y1≥y2
（3）利用圖象求出：當x取何值時有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0
答案:
1．A 2．C 3．D 4．x>2 5．x≥2 6．（-1，0）；x<-1
7．（-3，0） 8．（2，3）
9．①當0<x<1500時，租國有出租車公司的出租車合算；
②1500km；③租個體車主的車合算
10．①P（1，0）；②當x<1時y1>y2，當x>1時y1<y2
11．（1）k=、b=5，∴y=x-2、y=-3x+5 圖象略；
（2）從圖象可以看出：①當x<2時y1<y2；②當x≥2時y1≥y2；
（3）∵直線y1=x-2與x軸的交點為B（4，0），
直線y2=-3x+5與x軸的交點為C（，0），
∴從圖象上可以看出：
①當x<4時y1<0，當x>時y2<0，
所以當<x<4時，y1<0且y2<0．
②當x>4時，y1>0；當x>時y2<0，
∴當x>4時y1>0且y2<0．
11.3.1 一次函數(shù)與一元一次方程
知識庫
1．解關于x的方程kx+b=0可以轉化為：已知函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值為0，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y=kx+b，確定它與x軸的交點的橫坐標．
2．在直角坐標系中，以方程kx-y+b=0的解為坐標的點組成的圖象就是一次函數(shù)y=kx+b的圖象．
魔法師
例：若直線y=kx+6與兩坐標軸所圍成的三角形面積是24，求常數(shù)k的值是多少？
分析：（1）一次函數(shù)的圖象與兩條坐標軸圍成的圖形是直角三角形，兩條直角邊的長分別是圖象與x軸的交點的橫坐標的絕對值和與y軸的交點的縱坐標的絕對值．
（2）確定圖象與兩條坐標軸的交點坐標可以通過令x=0和y=0解方程求得．
解：設直線y=kx+6與x軸和y軸分別交于點A、B．
令y=0得x=-；令x=0得y=6．
∴A（-，0）、B（0，6）
∴OA=||、OA=│6│=6
∴S=OA?OB=|-|×6=24
∴│k│= ∴k=±
演兵場
☆我能選
1．直線y=3x+9與x軸的交點是（ ）
A．（0，-3） B．（-3，0） C．（0，3） D．（0，-3）
2．直線y=kx+3與x軸的交點是（1，0），則k的值是（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
3．已知直線y=kx+b與直線y=3x-1交于y軸同一點，則b的值是（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
4．已知直線AB∥x軸，且點A的坐標是（-1，1），則直線y=x與直線AB的交點是（ ）
A．（1，1） B．（-1，-1） C．（1，-1） D．（-1，1）
☆我能填
5．直線y=3x+6與x軸的交點的橫坐標x的值是方程2x+a=0的解，則a的值是______．
6．已知直線y=2x+8與x軸和y軸的交點的坐標分別是_______、_______．與兩條坐標軸圍成的三角形的面積是__________．
7．已知關于x的方程mx+n=0的解是x=-2，則直線y=mx+n與x軸的交點坐標是________．
8．方程3x+2=8的解是__________，則函數(shù)y=3x+2在自變量x等于_________時的函數(shù)值是8．
☆我能答
9．用作圖象的方法解方程2x+3=9
10．彈簧的長度與所掛物體的質量的關系是一次函數(shù)，如圖所示，請判斷不掛物體時彈簧的長度是多少？
探究園
11．有一個一次函數(shù)的圖象，可心和黃瑤分別說出了它的兩個特征．
可心：圖象與x軸交于點（6，0）。
黃瑤：圖象與x軸、y軸圍成的三角形的面積是9。
你知道這個一次函數(shù)的關系式嗎？
答案：
1．B 2．D 3．B 4．A 5．4 6．（-4，0），（0，8）；16
7．（-2，0） 8．x=2；2
9．畫直線y=2x-6，圖象與x軸的交點的橫坐標即方程的解，或先畫直線y=2x+3，然后觀察當自變量x取何值時函數(shù)值為9．
10．10kg 11．y=-x+3或y=x-3。
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