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第二十一講 圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題（一）

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )

A.( 1,2)          B. (1,2)           C.           D.(2,+∞)

2． P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋5)²＋y²＝4和(x－5)²＋y²＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為（ D  ）

A. 6              B.7              C.8                D.9

3．拋物線y=-x²上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )

A．               B．           C．               D．

4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）

    (A)           (B)           (C)          (D)

5．已知拋物線y²=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點(diǎn)，則y₁²+y₂²的最小值是   32       .

6．對(duì)于拋物線y²=4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是( B )

（A）（－∞，0）     （B）（－∞，2     （C）［0，2］         （D）（0，2）

★★★高考要考什么

【熱點(diǎn)透析】

與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題的討論常用以下方法解決：

（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；

（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過(guò)解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；

（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮��?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍。

（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；

（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：

① 通過(guò)參數(shù)θ簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；

② 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解諸如最值、范圍等問(wèn)題；

（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式D³0。

★★★突破重難點(diǎn)

【例1】已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.

解：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

所求方程為： （x>0）

（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝x₀，

此時(shí)A（x₀，），B（x₀，－），＝2

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，

代入雙曲線方程中，得：(1－k²)x²－2kbx－b²－2＝0

依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則

解得|k|>1，

又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）

＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

綜上可知的最小值為2

【例2】給定點(diǎn)A(-2,2)，已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F是右焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，試求B點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：因?yàn)闄E圓的，所以，而為動(dòng)點(diǎn)B到左準(zhǔn)線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點(diǎn)B，使得它到A點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之和最小，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂點(diǎn)為N，過(guò)A作此準(zhǔn)線的垂線，垂點(diǎn)為M，由橢圓定義

于是 為定值

其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)AM與橢圓的定點(diǎn)時(shí)等點(diǎn)成立，此時(shí)B為

所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為

【例3】已知P點(diǎn)在圓x²+(y-2)²=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|PQ|的最大值。

解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過(guò)圓心O₁時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O₁Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O₁Q|²= x²+(y-4)²   ①

因Q在橢圓上,則x²=9(1-y²)     ②

將②代入①得|O₁Q|²= 9(1-y²)+(y-4)²

因?yàn)?i>Q在橢圓上移動(dòng)，所以-1£y£1，故當(dāng)時(shí)，

此時(shí)

【點(diǎn)睛】1.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題往往與圓心有關(guān)；

2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問(wèn)題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見(jiàn)的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。

【例4】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁(0,-2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。

（1）求橢圓方程；

（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（1）解：依題意e ，

    ∴a＝3，c＝2，b＝1，

    又F₁(0，－2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為

    ∴橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為

 (2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分

∴直線l的斜率存在。 設(shè)直線l：y＝kx＋m

由消去y，整理得 (k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0

∵l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0  即m²－k²－9＜0       ①

設(shè) M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)        ②

把②代入①式中得，

∴k＞或k＜－

∴直線l傾斜角

第二十二講圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題（二）

【例5】長(zhǎng)度為（）的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段上，且（為常數(shù)且）．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡類型；

（2）當(dāng)=2時(shí)，已知直線與原點(diǎn)O的距離為，且直線與軌跡有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．

答案：(1)設(shè)、、，則

，由此及，得

，即 （*）

①當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．

②當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．

③當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．

（2）設(shè)直線的方程：，據(jù)題意有，即．

由得 ．

因?yàn)橹本�與橢圓有公共點(diǎn)，所以 

又把代入上式得 ：．

【例6】橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，其離心率, 過(guò)點(diǎn)C（－1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)C分向量的比為2.

（1）用直線的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面積；（2）當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，求橢圓E的方程。

解：（1）設(shè)橢圓E的方程為( a＞b＞0 )，由e =

∴a²=3b²   故橢圓方程x² + 3y² = 3b²

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由于點(diǎn)C（－1，0）分向量的比為2，

∴             即

由消去y整理并化簡(jiǎn)得    (3k²+1)x²+6k²x+3k²－3b²=0

由直線l與橢圓E相交于A（x₁,y₁）, B(x₂,y₂)兩點(diǎn)得：

而S_△OAB  ⑤

由①③得:x₂+1=－，代入⑤得：S_△OAB  =

（2）因S_△OAB=,

當(dāng)且僅當(dāng)S_△OAB取得最大值

此時(shí) x₁ + x₂ =－1, 又∵  =－1    ∴x₁=1,x₂ =－2

將x₁,x₂及k² = 代入④得3b² = 5 ∴橢圓方程x² + 3y² = 5

【例7】設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，若試求l的取值范圍.

解：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;

當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得

解之得 

因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.

當(dāng)時(shí)，，，

所以 ＝＝＝.

由  ， 解得 ，

所以   ，

綜上  .

【例8】我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．

如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．

（1）       若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

（2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；

（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解：（1） ，

，于是，

所求“果圓”方程為，． 

（2）設(shè)，則

，

     ， 的最小值只能在或處取到．

     即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處．                   

    （3），且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．

．

    當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，

此時(shí)的橫坐標(biāo)是．                                       

    當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是．                               

綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；

若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．

試題詳情

第十八講 向量與圓錐曲線（一）

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．（重慶）已知以F₁（-2,0），F₂（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為       （       ）

（A）       （B）       （C）       （D）

2.（全國(guó)）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（      ）

A．           B．           C．              D．

3．設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)P的軌跡方程是（    ）

A．    B．

C．    D．

4．已知兩點(diǎn)M（－2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為（   ）

（A）　　�。˙）　　�。–）　　�。―）

5．若曲線y²＝|x|＋1與直線y＝kx＋b沒(méi)有公共點(diǎn)，則k、b分別應(yīng)滿足的條件是 

★★★高考要考什么

【熱點(diǎn)透析】

知識(shí)要點(diǎn)：

1．直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的情況

（1）沒(méi)有公共點(diǎn)   方程組無(wú)解

（2）一個(gè)公共點(diǎn)   

（3）兩個(gè)公共點(diǎn)   

2．連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式：

3．以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、共線、平行、垂直、射影等問(wèn)題

主要題型：

1．三點(diǎn)共線問(wèn)題；

2．公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；

3．弦長(zhǎng)問(wèn)題；

4．中點(diǎn)問(wèn)題；

5．定比分點(diǎn)問(wèn)題；

6．對(duì)稱問(wèn)題；

7．平行與垂直問(wèn)題；

8．角的問(wèn)題。

近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向?yàn)?/p>

（1）考查學(xué)生對(duì)平面向量知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，如向量共線、垂直、定比分點(diǎn)。

（2）考查學(xué)生把向量作為工具的運(yùn)用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。

特別提醒：D法和韋達(dá)定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重要工具。

★★★突破重難點(diǎn)

【例1】在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線y²＝2x相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求證：“如果直線l過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

[解]（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y²=2x于點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

當(dāng)直線l的鈄率不存在時(shí),直線l的方程為x=3,此時(shí),直線l與拋物線相交于

點(diǎn)A(3,)、B(3,－).     ∴=3；

當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為，其中，

由得

又 ∵ ，

∴，

綜上所述，命題“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；

(2)逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.

例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；

說(shuō)明：由拋物線y²=2x上的點(diǎn)A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 滿足=3，可得y₁y₂=－6，或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y₁y₂=2，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(－1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0).

【例2】已知A,B為拋物線x²=2py(p>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2p）

（1）求證：A,B,C三點(diǎn)共線；

（2）若＝（）且試求點(diǎn)M的軌跡方程。

（1）證明：設(shè)，由得

，

又

，

，即A,B,C三點(diǎn)共線。

（2）由（1）知直線AB過(guò)定點(diǎn)C，又由及＝（）知OM^AB，垂足為M，所以點(diǎn)M的軌跡為以OC為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M的軌跡方程為x²+(y-p)²=p²(x¹0，y¹0)。

【例3】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，| PF₁|=，| PF₂|=.

（I）求橢圓C的方程；

（II）若直線l過(guò)圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程。

解法一：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²－c²=4,  所以橢圓C的方程為＝1.

(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）. 

 由圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.   從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得

 （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

因?yàn)?i>A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.   所以  

解得，

所以直線l的方程為   即8x-9y+25=0.   (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.

   設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

                                       ①

                                      ②

由①－②得      ③

因?yàn)?i>A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，即直線l的斜率為，

所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.

(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)

【例4】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．

（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使?為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：由條件知，，設(shè)，．

解法一：（I）設(shè)，則，，

，由得

即  于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．

又因?yàn)?sub>兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即．

將代入上式，化簡(jiǎn)得．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入有．

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，

于是

．

因?yàn)?sub>是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，

此時(shí)．

故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

解法二：（I）同解法一的（I）有

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入有．

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以．

．

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，．

以上同解法一的（II）．

第十九講 向量與圓錐曲線（二）

【例5】設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍.

解：（Ⅰ）解法一： 易知 ，所以，設(shè)，

則

因?yàn)?sub>，故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值-2

當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1

解法二：易知，所以，設(shè)，則

（以下同解法一）

（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，

聯(lián)立，消去，整理得：

∴

由得：或

又，∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或

【例6】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且，垂足為P.

（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值。

（Ⅰ）證明:  橢圓的半焦距，

由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，

故，所以，．

（Ⅱ）（?）當(dāng)的斜率存在且時(shí)，的方程為，

代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得．

設(shè)，，則：，，

；

因?yàn)锳C與BC相交于點(diǎn)P，且AC的斜率為．

所以，．

四邊形ABCD的面積．

當(dāng)k²=1時(shí)，上式取等號(hào)．

（?）當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4．

綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為．

【例7】已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A,B兩點(diǎn)。如果，且曲線E上存在點(diǎn)C，使，求m的值和DABC的面積S。

由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

且，易知，故曲線的方程為

設(shè)，由方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有

       解得

又∵

依題意得    整理后得

∴或  但   ∴

故直線的方程為

設(shè)，由已知，得

∴，

又，

∴點(diǎn)_，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得

得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為，到的距離為    

∴的面積.

【例8】已知函數(shù)與的圖象相交于，，，分別是的圖象在兩點(diǎn)的切線，分別是，

第十六講  圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程(一)

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．已知AB為過(guò)拋物線y²=2px焦點(diǎn)F的弦, 則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線(B)

A．相交      B．相切       C．相離      D．與p的取值有關(guān)

2．（江蘇理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為x-2y=0，則它的離心率為     （   A   ）

A．             B．              C．            D．

3．點(diǎn)P(a,b)是雙曲線x²-y²=1右支上一點(diǎn)，且P到漸近線距離為，則a+b=(B )

　　A、-　　B、　　C、-2　　D、2                 

4．（湖南）設(shè)F₁ 、F₂分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在P使線段PF₁的中垂線過(guò)點(diǎn)F₂，則橢圓離心率的取值范圍是（  D  ）

A．       B．       C．         D．

5．（湖北理）雙曲線的左準(zhǔn)線為l，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F₁ 、F₂；拋物線C₂的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F₂；C₁與C₂的一個(gè)交點(diǎn)為M，則等于 （  A  ）

A．           B．            C．             D．

6．（全國(guó)一）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK^l，垂足為K，則△AKF的面積是(  C)

A．4               B．              C．           D．8

7．（福建理）以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓方程是                    （  A  ）

A．x²+y²-10x+9=0       B．x²+y²-10x+16=0  C．x²+y²+10x+16=0      D．x²+y²+10x+9=0

8．（遼寧）設(shè)橢圓上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足，則　　　　2

★★★高考要考什么

【熱點(diǎn)透析】

試題詳情

北京市2009年高三二輪專項(xiàng)突破訓(xùn)練：物理-曲線運(yùn)動(dòng)

試題詳情

北京市2009年高三二輪專項(xiàng)突破訓(xùn)練：物理-萬(wàn)有引力

試題詳情

北京市2009年高三二輪專項(xiàng)突破訓(xùn)練：物理-振動(dòng)和波

試題詳情

北京市2009年高三二輪專項(xiàng)突破訓(xùn)練：物理-直線運(yùn)動(dòng)

試題詳情

北京市2009年高三二輪專項(xiàng)突破訓(xùn)練：物理-機(jī)械能

2、（08年高考江蘇卷物理）如圖所示，粗糙的斜面與光滑的水平面相連接，滑塊沿水平面以速度v₀運(yùn)動(dòng)，設(shè)滑塊運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)刻為t=0，距A點(diǎn)的水平距離x，水平速度為v_x.由于v₀不同，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的幾種可能的運(yùn)動(dòng)圖象如下列選項(xiàng)所示，其中表示摩擦力做功最大的是

3、（08年高考江蘇卷物理）如圖所示，兩光滑斜面的傾角分別為30和45,質(zhì)量分別為2 m和m的兩個(gè)滑塊用不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)滑輪連接(不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦)，分別置于兩個(gè)斜面上并由靜止釋放;若交換兩滑塊位置，再由靜止釋放，則在上述兩種情形中正確的有

(A)質(zhì)量為2m的滑塊受到重力、繩的張力、沿斜面的下滑力和斜面的支持力的作用

(B)質(zhì)量為m的滑塊均沿斜面向上運(yùn)動(dòng)

(C)繩對(duì)質(zhì)量為m滑塊的拉力均大于該滑塊對(duì)繩的拉力

(D)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能均守恒

4、（08年高考江蘇卷物理）如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩兩端各系一個(gè)小球a和b,跨在兩根固定在同一高度的光滑水平細(xì)桿上，質(zhì)量為3m的a球置于地面上，質(zhì)量為m的b球從水平位置靜止釋放。當(dāng)a球?qū)Φ孛鎵毫�剛好為零時(shí)，b球擺過(guò)的角度為θ.下列結(jié)論正確的是

(A)θ=90

(B)θ=45

(C)b球擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，重力對(duì)小球做功的功率先增大后減小

(D)b球擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，重力對(duì)小球做功的功率一直增大

5、（08年高考廣東卷物理）運(yùn)動(dòng)員跳傘將經(jīng)歷加速下降和減速下降兩個(gè)過(guò)程，將人和傘看成一個(gè)系統(tǒng)，在這兩個(gè)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是 

A.阻力對(duì)系統(tǒng)始終做負(fù)功

B.系統(tǒng)受到的合外力始終向下

C.重力做功使系統(tǒng)的重力勢(shì)能增加

D.任意相等的時(shí)間內(nèi)重力做的功相等

6、（08年高考廣東卷物理）某同學(xué)對(duì)著墻壁練習(xí)打網(wǎng)球，假定球在墻面上以25m/s 的速度沿水平方向反彈，落地點(diǎn)到墻面的距離在10m至15m之間，忽略空氣阻力，取g=10m/s²,球在墻面上反彈點(diǎn)的高度范圍是    

A.0.8m至１.8m                              B.0.8m至1.6m

C.1.0m至1.6m                               D.1.0m至1.8m

7、（08年高考四川卷理綜）一物體沿固定斜面從靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀滑至斜面底端。已知在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分別表示該物體所受的合力、物體的速度、位移和機(jī)械能，則下列圖象中可能正確的是

8、（08年高考寧夏卷理綜）一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t=0時(shí)其速度為1 m/s。從此刻開(kāi)始滑塊運(yùn)動(dòng)方向上再施加一水平面作用F，力F和滑塊的速度v隨時(shí)間的變化規(guī)律分別如圖a和圖b所示。設(shè)在第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)力F對(duì)滑塊做的功分別為則以下關(guān)系正確的是

  A.    B.     C.      D.

9、（08年高考海南卷物理）如圖，一輕繩的一端系在固定粗糙斜面上的O點(diǎn)，另一端系一小球．給小球一足夠大的初速度，使小球在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)．在此過(guò)程中，

   A．小球的機(jī)械能守恒

B．重力對(duì)小球不做功

   C．繩的張力對(duì)小球不做功

D．在任何一段時(shí)間內(nèi)，小球克服摩擦力所做的功總是等于小球動(dòng)能的減少

10、（08年高考廣東卷理科基礎(chǔ)）一個(gè)25kg的小孩從高度為3.0m的滑梯頂端由靜止開(kāi)始滑下，滑到底端時(shí)的速度為2.0m／s。取g＝10m／s²，關(guān)于力對(duì)小孩做的功，以下結(jié)果正確的是

A．合外力做功50J　　　　　 B．阻力做功500J

C．重力做功500J　　　　　　D．支持力做功50J

11、（07廣東理科基礎(chǔ)）人騎自行車下坡，坡長(zhǎng)l＝500 m，坡高h＝8 m，人和車總質(zhì)量為100 kg，下坡時(shí)初速度為4 m/s，人不踏車的情況下，到達(dá)坡底時(shí)車速為10 m/s，g取10 m/s²，則下坡過(guò)程中阻力所做的功為

A．－400J                           B．－3800J                

C．－50000J                D．－4200J

12、（07廣東理科基礎(chǔ)）一人乘電梯從1樓到30樓，在此過(guò)程中經(jīng)歷了先加速、后勻速、再減速的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，則電梯支持力對(duì)人做功情況是

A．加速時(shí)做正功，勻速時(shí)不做功，減速時(shí)做負(fù)功

B．加速時(shí)做正功，勻速和減速時(shí)做負(fù)功

C．加速和勻速時(shí)做正功，減速時(shí)做負(fù)功

D．始終做正功

13、（07廣東理科基礎(chǔ)）某位同學(xué)做“驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律”的實(shí)驗(yàn)，下列操作步驟中錯(cuò)誤的是

A．把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器固定在鐵架臺(tái)上，用導(dǎo)線連接到低壓交流電源

B．將連有重錘的紙帶過(guò)限位孔，將紙帶和重錘提升到一定高度

C．先釋放紙帶，再接通電源

D．更換紙帶，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)記錄處理數(shù)據(jù)

14、（07廣東卷）機(jī)車從靜止開(kāi)始沿平直軌道做勻加速運(yùn)動(dòng)，所受的阻力始終不變，在此過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是

A．機(jī)車輸出功率逐漸增大

B．機(jī)車輸出功率不變

C．在任意兩相等時(shí)間內(nèi)，機(jī)車動(dòng)能變化相等

D．在任意兩相等時(shí)間內(nèi)，機(jī)車動(dòng)量變化大小相等

15、（07海南卷 ）如圖，卷?yè)P(yáng)機(jī)的繩索通過(guò)定滑輪用力F 拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上 移動(dòng)。在移動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是

A．F對(duì)木箱做的功等于木箱增加的動(dòng)能與木箱克服摩擦力

所做的功之和

B．F對(duì)木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的

功之和

C．木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力勢(shì)能

D．F對(duì)木箱做的功等于木箱增加的機(jī)械能與木箱克服摩擦力做的功之和

16、（07上海理科綜合）右圖顯示跳水運(yùn)動(dòng)員從離開(kāi)跳板到入水前的過(guò)程。下列正確反映運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能隨時(shí)間t變化的曲線是（忽略空氣阻力）

17、（06江蘇卷）一質(zhì)量為 m的物體放在光滑的水平面上，今以恒力 F沿水平方向推該物體，在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是

A．物體的位移相等

B．物體動(dòng)能的變化量相等

C．F對(duì)物體做的功相等

D．物體動(dòng)量的變化量相等

18、（06江蘇卷）如圖所示，物體 A置于物體 B上，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與 B相連，在彈性限度范圍內(nèi)，A和 B一起在光滑水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣阻力），并保持相對(duì)靜止。則下列說(shuō)法正確的是
A．A和B均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

B．作用在A上的靜摩擦力大小與彈簧的形變量成正比

C．B對(duì)A的靜摩擦力對(duì)A做功，而A對(duì)B的靜摩擦力對(duì)B不做功

D．B對(duì)A的靜摩擦力始終對(duì)A做正功，而A對(duì)B的靜摩擦力始終對(duì) B做負(fù)功

19、（06全國(guó)卷）如圖所示，位于光滑水平面桌面上的小滑塊和都視作質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量相等。 與輕質(zhì)彈簧相連。 設(shè) 靜止，以某一初速度向 運(yùn)動(dòng)并與彈簧發(fā)生碰撞。在整個(gè)過(guò)程中，彈簧具有最大彈性勢(shì)能等于

A．的初動(dòng)能

B．的初動(dòng)能的

C．的初動(dòng)能的

D．的初動(dòng)能的

20、（北京順義區(qū)2008年三模）如甲圖所示，在足夠大的光滑水平面上放有兩個(gè)質(zhì)量相等的物塊,其中物塊連接一個(gè)輕彈簧并處于靜止?fàn)顟B(tài), 物塊以水平初速度向著物塊運(yùn)動(dòng)。物塊B與彈簧作用過(guò)程中,兩物塊始終保持在同一條直線上運(yùn)動(dòng)，乙圖分別描繪了此過(guò)程A、B兩物體的速度V、動(dòng)能Ek及所受彈力F隨時(shí)間t的變化規(guī)律。能正確表示其關(guān)系的一組圖像是（   ）

A．④ ⑤         B．① ⑥         

C．③ ⑤         D．② ⑥

21、（北京東城區(qū)2008年三模）如圖所示，靜止在光滑水平面上的木板，右端有一根輕質(zhì)彈簧沿水平方向與木板相連，木板質(zhì)量M=3kg。質(zhì)量m=1kg的鐵塊以水平速度v₀=4m/s，從木板的左端沿板面向右滑行，壓縮彈簧后又被彈回，最后恰好停在木板的左端。在上述過(guò)程中彈簧具有的最大彈性勢(shì)能為（   ）

A．3J      B．6J        C．20J         D．4J

22、（北京朝陽(yáng)區(qū)2008屆期末考）在水平地面上疊放著兩個(gè)質(zhì)量相同的長(zhǎng)方體物塊A、B，水平力F作用在物塊B上，物塊A、B保持相對(duì)靜止，一起向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則以下說(shuō)法正確的是

A．