3.1 數(shù)列的概念
〖考試要求〗
理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項公式的意義;了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項,能熟練應用關系式:.
〖雙基回顧〗
1、數(shù)列:
⑴定義:
;或者
.
⑵表示方法:
;或者
;或者
.
2、數(shù)列的分類:
⑴按項數(shù)的多少分:
①有窮數(shù)列――
②無窮數(shù)列――
⑵按相鄰項間的大小關系分:
①遞增數(shù)列――
②遞減數(shù)列――
③常數(shù)數(shù)列――
④擺動數(shù)列――
3、設數(shù)列{an}的前n項和為Sn=a1+a2+…+an,則當
時,an=Sn?Sn?1.
〖知識點訓練〗
1、根據(jù)已知條件寫出下列數(shù)列的前5項:
⑴Sn=n2+1;
⑵a1=1,an+1=an+;
⑶a1=1,a1a2 a3…an=n2
2、數(shù)列{an}中,an=n2-7n+6,那么150是其第 項.
3、已知an+2=an+1+an,a1=1,a2=2,bn=,則數(shù)列{bn}的前4項依次為
.
〖典型例題分析〗
1、根據(jù)已知條件寫出下列數(shù)列的一個通項公式:
⑴2,4,6,8,…,an=
;
⑵1,4,7,10,…,an=
;
⑶1,,2,,…,an=
;
2、已知數(shù)列{an}的通項公式為an=
⑴0.98是不是它的項? ⑵判斷此數(shù)列的單調(diào)性.
3、設數(shù)列{an}中,Sn=-4n2+25n+1
(1)求通項公式; (2)求a10+a11+a12+…+a20的值; (3)求Sn最大時an的值.
*4、在數(shù)列{an}中,其前n項和Sn=.試問數(shù)列有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數(shù);若沒有,說明理由.
〖課堂小結(jié)〗
1、求數(shù)列的通項公式的常用方法有:觀察法、遞推法、疊加(乘)法、歸納法.
2、由Sn求an時要注意分n=1和n>1兩種情況.
3、判定數(shù)列{an}的單調(diào)性考查的是an+1與an的大小關系.
〖課堂練習〗
1、數(shù)列{an}中,Sn=nn,那么a4=……………………………………………………………………( )
(A)256 (B)229 (C)27 (D)7
2、數(shù)列{an}中,an=,如果它的前n項之和為3,那么n=………………………( )
(A)16 (B)15 (C)8
(D)3
3、數(shù)列1,0,1,0,1,0,……的一個通項公式為
;
數(shù)列1,0,-1,0,1,0,-1,0,……的一個通項公式為
;
4、數(shù)列{an}中,a1=1,,那么它的前4項為 .
〖能力測試〗
姓名
得分
1、數(shù)列3,7,13,21,31,…,的一個通項公式是…………………………………………………( )
(A)an=4n-1 (B)an= n2+n+1 (C)an=2+n-n2+n (D)an=n(n+1)(n-1)
2、若數(shù)列的前四項為2,0,2,0,則這個數(shù)列的通項公式不能是……………………………………( )
(A)an=1+(-1)n-1 (B)an=1-cosnp
(C)an=2sin2 (D)an=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)
3、以下通項公式中,不是2,4,8,…通項公式的是………………………………………………( )
(A)an=2n
(B)an=n2-n+2 (C)an=2n
(D)
4、已知a0=1,a1=3,?an-1an+1=(-1)n (n∈N),則a3=……………………………………( )
(A)33
(B)21
(C)17
(D)10
5、數(shù)列中,有序數(shù)對(a,b)可以是……………………………………( )
(A)(21,-1) (B)(16,-1) (C)(-,) (D)(,-)
6、若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-2n+3,則此數(shù)列的前三項依次是………………………………( )
(A)-1,1,3 (B)2,1,3 (C)6,1,3 (D)2,1,6
7、已知a1=1,an+1=1+,則a5= .
8、數(shù)列{2+log2}的第10項是
.
9、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足log2(Sn+1)=n+1,則其通項公式為 .
10、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,求通項公式an:
⑴Sn=5n2+3n; ⑵Sn=-2;
11、數(shù)列{an}的前n項的和為Sn=n2+pn,數(shù)列{bn}的前n項的和為n=3n2-2n,
⑴如果a10=b10,求p之值
⑵取{bn}中的奇數(shù)項按照原來順序構(gòu)成數(shù)列{cn},求cn的表達式.
3.2 等差數(shù)列
〖考試要求〗
理解等差數(shù)列的概念以及推導等差數(shù)列通項公式的方法思想;掌握等差數(shù)列和公式并能加以靈活應用.
〖雙基回顧〗
1、定義:
2、通項公式:
⑴
⑵
3、前n項之和:
⑴
⑵
4、數(shù)a、b的等差中項:
〖知識點訓練〗
1、等差數(shù)列-5,-9,-13,…,的第 項是-401;
2、已知{an}為等差數(shù)列,若a1=3,d=,an=21,則n= ;
3、已知{an}為等差數(shù)列,若a10=,d=,則a3= .
〖典型例題〗
1、判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列:
⑴an =3n+5.
⑵an =3n2.
⑶數(shù)列{an}滿足Sn=2n2+3n.
2、在等差數(shù)列{an}中,
⑴若a59=70,a80=112,求a101.
⑵若ap=q,aq=p (p≠q),求ap+q.
⑶若a12=23,a42=143,an=263,求n之值.
3、四個數(shù)成等差數(shù)列,它們的平方和為94,第一個數(shù)與第四個數(shù)的積比第二個數(shù)與第三個數(shù)的積少18,求此四個數(shù).
4、等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
⑴求公差d的取值范圍;
⑵指出S1、S2、S3、…、S12中哪一個最大,為什么?
5、在數(shù)列{an}中,an=11-2n.
⑴求Sn;
⑵設bn=|an|,求{bn}的前n項之和Tn.
〖課堂小結(jié)〗
1、掌握下列法則:{an}為等差數(shù)列;
2、要靈活應用等差、等比數(shù)列的通項公式(即廣義通項公式);
3、三個數(shù)成等差可設它們?yōu)椋?i>a,a+d,a+2d或a-d,a,a+d;
四個數(shù)成等差(比)可設它們?yōu)椋?i>a-3d,a-d,a+d,a+3d.
〖能力測試〗
1、已知數(shù)列是等差數(shù)列,則使為等差數(shù)列的數(shù)列是……………………………………(
)
(A)
(B) (C) (D)
2、已知等差數(shù)列中,,公差d=2,其中第一個正數(shù)項是………………………( )
(A)第11項 (B)第12項 (C)第13項 (D)第14項
3、在等差數(shù)列{an}中,d≠0,當n>1時,則a1an+1與a2an的大小關系是…………………………( )
(A)a1an+1>a2an (B)a1an+1<a2an (C)a1an+1=a2an (D)無法確定
4、在100和500之間能被9整除的所有數(shù)的和是…………………………………………………( )
(A)13266
(B)12699
(C)13832 (D)14500
5、設{an}是公差為-2的等差數(shù)列,若a1+a4+a7+…+a97=50,則a3+a6+a9+…+a99等于( )
(A)-78
(B)-82
(C)-148
(D)-182
6、等差數(shù)列{an}的公差d=,且S100=145,則a1+a3+a5+…+a99等于………………………( )
(A)52.5
(B)72.5
(C)60 (D)85
7、在等差數(shù)列{an}中,a5+a10+a15+a20=20,則S24=
.
8、在兩個不等正數(shù)a,b之間插入n個數(shù),使它們與a、b組成等差數(shù)列{an},公差為d1,再插入m個數(shù),使它們與a、b組成等差數(shù)列{bn},公差為d2,則= .
9、已知b是a、c的等差中項,的等差中項,如果a+b+c=33,求此三數(shù).
10、 一項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項之和為24,偶數(shù)項之和為30,若最后一項比第一項大
,求此數(shù)列的首項、公差、及項數(shù).
3.3 等比數(shù)列
〖考試要求〗
理解等比數(shù)列的概念以及推導等比數(shù)列通項公式的方法思想;掌握等比數(shù)列的和公式并能加以靈活應用.
〖雙基回顧〗
1、定義:
2、通項公式:
⑴
⑵
3、前n項和公式:
⑴
⑵
4、數(shù)a、b的等比中項及其條件:
〖知識點訓練〗
1、在等比數(shù)列{an}中a2=2, a5=54,則q= ;
2、在等比數(shù)列{an}中a5=1, an=256,q=2,則n= .
3、公差不為0的等差數(shù)列第二、三、六項成等比數(shù)列,則公比等于 .
4、已知數(shù)列l(wèi)gx+lgx2+lgx3+…+lgx10=110,求lgx+lg2x+lg3x+…+ lg10x= .
5、已知是等比數(shù)列,且an>0,若a2a4+2a3a5+a4a6=25, 則a3+a5的值等于
.
6、方程2x2+7x+1=0的兩根的等差中項為 ;等比中項為
.
〖典型例題〗
1、在等比數(shù)列{an}中,
⑴a9a10a11a12=64,求a8a13之值.
⑵a2a8=36,a3+a7=15,求a10.
*⑶q=2,a1a2a3…a30=230,求a3a6a9…a30之值.
⑷在等比數(shù)列{an}中,S4=1,S8=3,則a17+a18+a19+a20.
⑸已知等比數(shù)列{an}的公比是q=,且a1+a3+a5+…+a99=60,求a1+a2+a3+…+a100.
2、已知數(shù)列{an}的前n項和滿足,求此數(shù)列的通項公式.
3、求和:(a-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(an-n) .
4、已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,是它的前n項之和,是它的前n項倒數(shù)和,并且,求滿足不等式>的最小自然數(shù).
5、正項等比數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù),它的所有項之和等于它的偶數(shù)項和的4倍,第2、4項之積是3、4項和的9倍.⑴求a1及q;⑵問{lgan}的前幾項和最大?
〖課堂練習〗在等比數(shù)列{an}中,
1、a5-a1=15,a4-a2=6,則a3= .
2、在等比數(shù)列{an}中,已知a3=1,S3=4,求a1、q.
〖課堂小結(jié)〗
1、{an}為等比數(shù)列2、要靈活應用等比數(shù)列的廣義通項公式.
3、三個數(shù)成等比可設它們?yōu)椋?i>a,aq,aq2或a/q,a,aq;
四個數(shù)成等比可設它們?yōu)椋?i> a/q3,a/q,aq,aq3;
4、運用等比數(shù)列和公式時,一定得注意q的取值.
〖能力測試〗
1、若a、b、c成等比數(shù)列,則函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數(shù)是…………………( )
(A)0個 (B)1個 (C)2個
(D)0個或2個
2、下列四個命題:
①公比q>1的等比數(shù)列的各項都大于1;②公比q<0的等比數(shù)列是遞減數(shù)列;③常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列; ④{lg2n}是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列
正確的個數(shù)是……………………………………………………………………………………( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
3、數(shù)列{an}的前n項之和為Sn=an-1,那么此數(shù)列是……………………………………………( )
(A)等比數(shù)列
(B)等差數(shù)列
(C)等比或等差數(shù)列 (D)等比不是等差數(shù)列
4、已知數(shù)列{an}的通項公式為an=22n-1,則該數(shù)列的前5項的和為……………………………( )
(A)62
(B)
(C)
(D)682
5、一個數(shù)列{ an }是遞增的等比數(shù)列,公比是q,則該數(shù)列的……………………………………( )
(A)q>1
(B)a1>0,q>1
(C)a1<0,q<1
(D)a1>0,q>1或a1<0,0<q<1
6、一個數(shù)列{an}中,a1=15,a45=90,如是等差數(shù)列,則a60= ;如是等比數(shù)列,則a60= .
7、等比數(shù)列中,an+2=an,則實數(shù)公比q= 、an+3=an,則實數(shù)公比q= .
8、三數(shù)成等差數(shù)列,它們的和等于15,如果它們分別加上1,3,9就成為等比數(shù)列,求這三個數(shù).
9、在3和2187之間插入若干個正數(shù),使所有數(shù)組成等比數(shù)列,且插入的這些正數(shù)之和為1089,求插入的這些正數(shù)各是多少?
10、如果一個三角形的三邊成等比數(shù)列,求公比q的取值范圍.
3.4 等差等比數(shù)列綜合應用
〖考試要求〗
掌握運用等差(比)數(shù)列中的常用思想方法(定義法、遞推法、倒序相加法、錯位相減法等).
〖課前預習〗
1、下列說法正確的是…………………………………………………………………………………(
)
(A)數(shù)列中,若,(q為常數(shù),n∈N),則是等比數(shù)列
(B)等比數(shù)列中,若m,n,p成等差數(shù)列,且m,n,p∈N則
(C)lg2,lgm,lg8是成等差數(shù)列,則2,m,8成等比數(shù)列且m=±4
(D)是a,b,c成等比數(shù)列的充要條件
2、數(shù)列的前項n和則的值為……………………………………………( )
(A)1100 (B)112
(C)988
(D)114
3、等差數(shù)列共有2n+1項,所有奇數(shù)項的和為132,所有偶數(shù)項的和為120,則n=………………( )
(A)9
(B)10
(C)11
(D)不確定
4、數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+n-1,則它的通項公式是…………………………………………( )
(A)an=4n-1 (B)an=4n-2 (C)(D)
5、在等差數(shù)列{an}中,已知a3:a5=3:4,則S9:S5的值是…………………………………………( )
(A)27:20 (B)9:4
(C)3:4
(D)12:5
6、在等比數(shù)列{ an }中,an =2´3 n-1,則該數(shù)列中前n個偶數(shù)項的和等于…………………………( )
(A)3 n-1 (B)3(3 n-1) (C)(9 n-1) (D)(9 n-1)
7、若,,成等差數(shù)列,則x的值為 .
8、
.
〖典型例題〗
1、一個數(shù)列{an}中,當n為奇數(shù)時,an=5n+1,當n是偶數(shù)時,an=,求此數(shù)列的前2n項之和.
2、方程=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則|m-n|=…( )
(A)1
(B) (C) (D)
3、數(shù)列{an}滿足:,并且a1≠a2.⑴求實數(shù)p之值;⑵求證{an}是A.P
4、已知數(shù)列是等差數(shù)列,
⑴求證:數(shù)列也是等差數(shù)列;
⑵若,求這兩個數(shù)列、的通項公式.
5、設{an}是等差數(shù)列,bn=,已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,
⑴求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; ⑵求等差數(shù)列{an}的通項an.
6、若兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和之比為Sn:S¢n=(4n+1):(9n+3),求a20:b20.
7、數(shù)列{an}、{bn}分別是等比數(shù)列、等差數(shù)列,滿足ai>0,bj>0,b2-b1>0,是否存在常數(shù)k,使:是常數(shù)?
〖能力測試〗
1、若{an}是等比數(shù)列,其公比是q,且-a5,a4,a6成等差數(shù)列,則q等于……………………( )
(A)1或2
(B)1或-2 (C)-1或2 (D)-1或-2
2、若等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且a3+a6+a9=12,a3a6a9=28,則此數(shù)列的通項an等于…………( )
(A)n-2
(B)-n+16 (C)n-2 或-n+16 (D)n-2
3、等比數(shù)列{an}中,已知對任意正整數(shù)n,a1+a2+…+an=2n-1,則等于( )
(A)(2n-1)2
(B)(2n-1) (C)4n-1
(D)(4n-1)
4、已知數(shù)列的通項為若要使此數(shù)列的前n項和最大,則n的值為…………( )
(A)12
(B)13
(C)12或13 (D)14
5、已知數(shù)列1,1,2,…,它的每一項由一個等比數(shù)列和一個首項為0的等差數(shù)列對應項相加而得到,那么這個數(shù)列的前10項的和為………………………………………………………………( )
(A)467
(B)557
(C)978
(D)1068
6、正數(shù)a、b的乘積ab是a4+a2b2與b4+a2b2的一個等比中項,則ab的…………………………( )
(A)最大值為 (B)最小值為
(C))最大值為 (D)最小值為
7、在等差數(shù)列{an}中,如果a6+a9+a12+a15=20,則S20=
.
8、已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項a1=8,令bn=log2an,若數(shù)列{bn}的前7項的和S7最大,且S7≠S8,求數(shù)列{an}的公比q的取值范圍.
*9.已知函數(shù)
*10、一個公差不為零的等差數(shù)列{an}共有100項,首項為5,其第1、4、16項分別為正項等比數(shù)列{bn}的第1、3、5項.
⑴求{an}的各項的和S;
⑵若{bn}的末項不大于,求{bn}項數(shù)的最大值N;
⑶記{an}前項和為Sn,{bn}前項和為Tn,問是否存在自然數(shù)m,使Sm=TN?
3.5 特殊數(shù)列求和
〖考試要求〗
掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項和公式,并能夠應用這些知識解決一些簡單的問題.
〖學習指導〗
1、掌握倒序求和法與錯位相減法。
2、記住一些常見結(jié)論并且會應用之,學會分析通項的結(jié)構(gòu)并且對通項進行分拆。
〖知識點訓練〗
1、記住下列結(jié)論:
⑴1+2+3+…+n=
;⑵1+3+5+…+(2n-1)=
;
2、求和:
⑴=
.
⑵= .
〖典型例題〗
1、求和:S=1-2+3-4+…+n.
2、求和:S=1+
*3、
4、求和:
4、⑴求數(shù)列:1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+n,…的前n項之和
*⑵求數(shù)列:1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…的通項公式及前n項之和
5、如果0<n<100并且n∈N,求S=的最小值.
〖課堂練習〗
1、求和:
*2、求分母為3,包含在整數(shù)m與n之間的所有不可約的分數(shù)之和.
〖能力測試〗
1、數(shù)列:1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…的前n項之和為…………………………………( )
(A)2n-1 (B)2n+1-n-2
(C)2n+1-n
(D)2n+1-1
2、數(shù)列{an}中,an= (-1)n-1(4n-3),那么它的前100項之和為……………………………………( )
(A)200 (B)-200
(C)400
(D)-400
3、數(shù)列{an}中,前n項之和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),則S15+S22-S31= .
4、如果數(shù)列{an}的前n項之和為Sn=3+2n,那么=
.
5、如果數(shù)列{an}中,an=,求前n項之和Sn.
6、如果an=12+22+…+n2,求數(shù)列的前n項之和.
7、函數(shù)
⑴求
⑵設a1=1,an=-,求數(shù)列{an}的通項公式
⑶求和S=.
3.6 等差等比數(shù)列應用題
〖考試要求〗
能運用等差(比)數(shù)列知識解決相關的實際應用問題..
〖學習指導〗
1、等差數(shù)列應用題一般是解決增加或減少相同數(shù)量的問題;等比數(shù)列應用題一般是解決增加或減少相同百分率的問題,轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題之后,運算量偏大,所列的方程不是高次方程就是指對數(shù)方程,有時還要涉及到對數(shù)、近似計算(二項式定理)的問題。解決實際問題的關鍵是闖過閱讀理解這一關。
2、請閱讀課本第一冊(上)P124―125,P133―136,了解關于銀行存款計算.
〖典型例題〗
1、用分期付款的方式購買價格為1150元的冰箱,如果購買時先付150元,余款分20次付完。以后每月付50元加上欠款的利息。如果月利息為1%,那么第10個月要付多少錢,總共要付多少錢?
2、某林場的樹木以每年25%的增長率生長,計劃從今年起每年冬季砍伐相同數(shù)量的木材,并且還要實現(xiàn)20年后木材儲量翻兩番.問每年的砍伐量應為現(xiàn)在木材總量的多少?(lg2=0.3)
3、某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘魚船用于捕撈,第一年需要各種費用12萬元,從第二年起包括維修費在內(nèi)每年所需費用比上一年增加4萬元,該船每年捕撈總收入50萬元.
(Ⅰ)該船捕撈幾年開始盈利?
(Ⅱ)該船捕撈若干年后,處理方案有兩種,問哪一種方案合算?為什么?
⑴當年平均利潤最大時以26萬元的價格賣出;
⑵當盈利總額達到最大時以8萬元價格賣出;
4、某縣有土地1萬畝,其中有70%的沙漠,從今年起進行綠化改造,每年把原有沙漠的16%改造為綠地,同時原有綠地的4%又被變?yōu)樯衬,設從今年起第n年有綠地an萬畝.
⑴求數(shù)列{an}的通項公式;
⑵至少經(jīng)過幾年,綠化面積可以超過60%
*5、某工廠A車間現(xiàn)有職工30人,平均每年可創(chuàng)產(chǎn)值a萬元(a為正常數(shù)),為了適應市場經(jīng)濟的發(fā)展需要,計劃對A車間人員進行裁減.據(jù)評估,在生產(chǎn)條件不變的情況下,裁減1人時,留崗職工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值增加5%;在一定范圍內(nèi),裁減n+1個人時比裁減n人時,留崗職工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值增加5%(n∈N*),為使全年創(chuàng)造的總產(chǎn)值最大,A車間應裁員多少人?
〖能力測試〗
1、某產(chǎn)品成本不斷下降,若每隔三年價格要降低25%,現(xiàn)在價格是640元,則12年后的價格是( )
(A)270元  
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