設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為 S_n，且對(duì)任意的n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式S_n-1005＞對(duì)一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

下列命題中所有正確的命題是：______．
（1）不同的兩個(gè)數(shù)a，b的等差中項(xiàng)A的絕對(duì)值必大于它們的等比中項(xiàng)G的絕對(duì)值．（等差中項(xiàng)A，等比中項(xiàng)G均存在）
（2）無窮等差數(shù)列中有三項(xiàng)是13，25，41，則2013一定是此數(shù)列中的一項(xiàng)．
（3）等比數(shù)列{a_n}中所有項(xiàng)均為正數(shù)，并且公比q≠1，則a₂+a₆＞a₃+a₅．
（4）對(duì)任何數(shù)列{a_n}（n≥3），都存在一個(gè)等差數(shù)列{x_n}與一個(gè)等比數(shù)列{y_n}，使得對(duì)任何n∈N^*，a_n=x_n+y_n．

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N^*n，≥2，a_n總是3S_n-4與2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n；
（2）證明：

1

2

(log2Sn+log2Sn+2)＜log2Sn+1；
（3）若bn=

4

an

-1，cn=log2(

4

an

)2，T_n，R_n分別為{b_n}、{c_n}的前n項(xiàng)和．問：是否存在正整數(shù)n，使得T_n＞R_n，若存在，請(qǐng)求出所有n的值，否則請(qǐng)說明理由．

（2013•日照一模）若數(shù)列{b_n}：對(duì)于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若c_n=

4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).

則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對(duì)于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列S_n有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50．若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．