已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x．

(1)設(shè)直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x[(x)－(x)]＝－3x²－(a＋6)x＋1．其中(x)，(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，F(xiàn)(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由

給出以下4個(gè)命題，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．

(1)當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒過定點(diǎn)P，則焦點(diǎn)在y軸上且過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x²＝y．

(2)若直線l₁＋2kx＋(k＋1)y＋1＝0與直線l₂：x－ky＋2＝0垂直，則實(shí)數(shù)k＝1；

(3)已知數(shù)列{a_n}對(duì)于任意p，q∈N^*，有a_p＋a_q＝a_p+q，若a₁＝，則a₃₆＝4

(4)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，令[x]為不大于x的最大整數(shù)，例如：[3.05]＝3，[]＝1，則函數(shù)f(x)＝[x]稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù)，若a_n＝f()(n∈N^*)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₃₀＝145