題目列表(包括答案和解析)
21.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)在區(qū)間上畫出函數(shù)
的圖像;
(Ⅱ)設(shè)集合. 試判斷集合
和
之間的關(guān)系,并給出證明;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求證:在區(qū)間
上,
的圖像位于函數(shù)
圖像的上方
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)方程的解分別是
和
,由于
在
和
上單調(diào)遞減,在
和
上單調(diào)遞增,因此
.
由于.
(Ⅲ)[解法一] 當(dāng)時(shí),
.
,
. 又
,
�、佟�
當(dāng),即
時(shí),取
,
.
,
則.
②
當(dāng),即
時(shí),取
,
=
.
由 ①、②可知,當(dāng)時(shí),
,
.
因此,在區(qū)間上,
的圖像位于函數(shù)
圖像的上方.
[解法二] 當(dāng)時(shí),
.
由 得
,
令 ,解得
或
,
在區(qū)間上,當(dāng)
時(shí),
的圖像與函數(shù)
的圖像只交于一點(diǎn)
;
當(dāng)時(shí),
的圖像與函數(shù)
的圖像沒(méi)有交點(diǎn).
如圖可知,由于直線過(guò)點(diǎn)
,當(dāng)
時(shí),直線
是由直線
繞點(diǎn)
逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到. 因此,在區(qū)間
上,
的圖像位于函數(shù)
圖像的上方.
20.(本小題滿分14分)已知:定義在R上的函數(shù)f (x)為奇函數(shù),且在上是增函數(shù).
(Ⅰ)求證:f (x)在上也是增函數(shù);
(Ⅱ)對(duì)任意,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使不等式
恒成立.
解:(Ⅰ)證明:設(shè),且
,
則,且
.
∵在
上是增函數(shù),∴
.
又為奇函數(shù),∴
,
∴, 即
在
上也是增函數(shù).
(Ⅱ)∵函數(shù)在
和
上是增函數(shù),且
在R上是奇函數(shù),
∴在
上是增函數(shù).
于是
.
∵當(dāng)時(shí),
的最大值為
,∴當(dāng)
時(shí),不等式恒成立.
19.(本小題滿分14分)設(shè)為公差大于0的等差數(shù)列,
為數(shù)列
的前n項(xiàng)的和.
已知S4=24,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
;
(Ⅱ)若的前n項(xiàng)和
解:(Ⅰ)
由
(Ⅱ)
18.(本小題滿分16分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求的最小正周期及遞減區(qū)間;
(Ⅱ)指出將函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到函數(shù)
的圖象;
(Ⅲ)若, 求
最大值、最小值.
解:(Ⅰ)
∴
遞減區(qū)間
(Ⅱ)先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的
(縱坐標(biāo)不變),再向左平移
個(gè)單位,再把縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的
倍(橫坐標(biāo)不變)而得到函數(shù)
的圖象
(Ⅲ)
當(dāng) 即
時(shí)
當(dāng) 即
時(shí)
17.(本小題滿分12分)有四個(gè)正數(shù),前三數(shù)成等比數(shù)列,其和為
;后三數(shù)成等差數(shù)列,其和為
.
(Ⅰ)求此四數(shù);
(Ⅱ)分別求以為前三項(xiàng)的等比數(shù)列的前
項(xiàng)和
與以
為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的
前項(xiàng)和
;
(Ⅲ)比較與
的大�。�
解:(Ⅰ)依題意有
解得四數(shù)依次為或
,因?yàn)樗臄?shù)均為正數(shù)。所以所求四數(shù)依次為
(Ⅱ),
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
16.給出下列四個(gè)函數(shù):①;②
;③
;④
,對(duì)于其定義域內(nèi)的任意的
成立的函數(shù)為 ②③
15.定義運(yùn)算為:
,例如,
,則函數(shù)
的值域[-1,
]
14.已知且
則A∩B=
13.已知是偶函數(shù),則函數(shù)
的圖象的對(duì)稱軸是
12.一條信息,若一人得知后,一小時(shí)內(nèi)將信息傳給兩人,這兩人又在一小時(shí)內(nèi)各傳給未知信息的另外兩人.如此下去,要傳遍55人的班級(jí)所需時(shí)間大約為__5_____小時(shí).
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