題目列表(包括答案和解析)
4. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3. 過平行六面體任意兩條棱的中點作直線, 其中與平面平行的直線共有
A.4條 B.6條 C.8條 D.12條
2. 若數(shù)列滿足: , 且對任意正整數(shù)都有, 則
A. B. C. D.
1. 函數(shù)的定義域是
A. B. C. D.
21.(本小題滿分14分)
設(shè)是函數(shù)的一個極值點。
(Ⅰ)、求與的關(guān)系式(用表示),并求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)、設(shè),。若存在使得成立,求的取值范圍。
點評:本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識,考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。
解:(Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
則 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是極值點,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
當a<-4時,x2>3=x1,則
在區(qū)間(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)為減函數(shù);
在區(qū)間(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)為增函數(shù);
在區(qū)間(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)為減函數(shù)。
當a>-4時,x2<3=x1,則
在區(qū)間(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)為減函數(shù);
在區(qū)間(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)為增函數(shù);
在區(qū)間(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)為減函數(shù)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當a>0時,f (x)在區(qū)間(0,3)上的單調(diào)遞增,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,那么f (x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f (x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù),
且它在區(qū)間[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只須僅須
(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0<a<.
故a的取值范圍是(0,)。
20.(本小題滿分14分)
設(shè)分別為橢圓的左、右頂點,橢圓長半軸的長等于焦距,且為它的右準線。
(Ⅰ)、求橢圓的方程;
(Ⅱ)、設(shè)為右準線上不同于點(4,0)的任意一點,若直線分別與橢圓相交于異于的點,證明點在以為直徑的圓內(nèi)。
(此題不要求在答題卡上畫圖)
點評:本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識,考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。
解:(Ⅰ)依題意得 a=2c,=4,解得a=2,c=1,從而b=.
故橢圓的方程為 .
(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(x0,y0).
∵M點在橢圓上,∴y0=(4-x02). 1
又點M異于頂點A、B,∴-2<x0<2,由P、A、M三點共線可以得
P(4,).
從而=(x0-2,y0),
=(2,).
∴·=2x0-4+=(x02-4+3y02). 2
將1代入2,化簡得·=(2-x0).
∵2-x0>0,∴·>0,則∠MBP為銳角,從而∠MBN為鈍角,
故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。
解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則-2<x1<2,-2<x2<2,又MN的中點Q的坐標為(,),
依題意,計算點B到圓心Q的距離與半徑的差
-=(-2)2+()2-[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3
又直線AP的方程為y=,直線BP的方程為y=,
而點兩直線AP與BP的交點P在準線x=4上,
∴,即y2= 4
又點M在橢圓上,則,即 5
于是將4、5代入3,化簡后可得-=.
從而,點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。
19.(本小題滿分10分)
在某校舉行的數(shù)學競賽中,全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上(含90分)的學生有12名。
(Ⅰ)、試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人?
(Ⅱ)、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生,試問設(shè)獎的分數(shù)線約為多少分?
可共查閱的(部分)標準正態(tài)分布表
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 |
0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 |
0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 |
0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 |
0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 |
0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 |
0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 |
0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 |
0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 |
0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 |
0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 |
點評:本小題主要考查正態(tài)分布,對獨立事件的概念和標準正態(tài)分布的查閱,考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。
解:(Ⅰ)設(shè)參賽學生的分數(shù)為,因為-N(70,100),由條件知,
P(≥90)=1-P(<90)=1-F(90)=1-=1-(2)=1-0.9772=0.228.
這說明成績在90分以上(含90分)的學生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%,因此,
參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)。
(Ⅱ)假定設(shè)獎的分數(shù)線為x分,則
P(≥x)=1-P(<x)=1-F(90)=1-==0.0951,
即=0.9049,查表得≈1.31,解得x=83.1.
故設(shè)獎得分數(shù)線約為83.1分。
18.(本小題滿分12分)
如圖,在棱長為1的正方體中,是側(cè)棱上的一點,。
(Ⅰ)、試確定,使直線與平面所成角的正切值為;
(Ⅱ)、在線段上是否存在一個定點Q,使得對任意的,D1Q在平面上的射影垂直于,并證明你的結(jié)論。
點評:本小題主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能力,考查運用向量知識解決數(shù)學問題的能力。
解法1:(Ⅰ)連AC,設(shè)AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點,,連結(jié)OG,因為
PC∥平面,平面∩平面APC=OG,
故OG∥PC,所以,OG=PC=.
又AO⊥BD,AO⊥BB1,所以AO⊥平面,
故∠AGO是AP與平面所成的角.
在Rt△AOG中,tanAGO=,即m=.
所以,當m=時,直線AP與平面所成的角的正切值為.
(Ⅱ)可以推測,點Q應(yīng)當是AICI的中點O1,因為
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面ACC1A1,
又AP平面ACC1A1,故 D1O1⊥AP.
那么根據(jù)三垂線定理知,D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。
17.(本小題滿分13分)
已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點,其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前n項和為,點均在函數(shù)的圖像上。
(Ⅰ)、求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)、設(shè),是數(shù)列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m;
點評:本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能,考查分析問題的能力和推理能力。
解:(Ⅰ)設(shè)這二次函數(shù)f(x)=ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因為點均在函數(shù)的圖像上,所以=3n2-2n.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
當n=1時,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必須且僅須滿足≤,即m≥10,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.
16.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù),其中向量,,,。
(Ⅰ)、求函數(shù)的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)、將函數(shù)的圖像按向量平移,使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱,求長度最小的。
點評:本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識,考查推理和運算能力。
解:(Ⅰ)由題意得,f(x)=a·(b+c)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+sin(2x+).
所以,f(x)的最大值為2+,最小正周期是=.
(Ⅱ)由sin(2x+)=0得2x+=k.,即x=,k∈Z,
于是d=(,-2),k∈Z.
因為k為整數(shù),要使最小,則只有k=1,此時d=(―,―2)即為所求.
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