題目列表(包括答案和解析)
對數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中, 對自然數(shù),規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列,其中.
(1)已知數(shù)列的通項公式,試判斷,是否為等差或等比數(shù)列,為什么?
(2)若數(shù)列首項,且滿足,求數(shù)列的通項公式。
(3)對(2)中數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對一切自然都成立?若存在,求數(shù)列的通項公式;若不存在,則請說明理由。
數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,,,,其中,則數(shù)列的通項公式______________
對數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中, 對自然數(shù),規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列,其中.
(1)已知數(shù)列的通項公式,試判斷,是否為等差或等比數(shù)列,為什么?
(2)若數(shù)列首項,且滿足,求數(shù)列的通項公式。
(3)對(2)中數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對一切自然都成立?若存在,求數(shù)列的通項公式;若不存在,則請說明理由。
一.選擇題
1~10 BADDA BCBCD
二.填空題
11.2 12. 13. 14.8 15.45
三.解答題
16.解:因為,所以 ………………………………(1分)
由得,解得 ………………………………(3分)
因為,故集合應(yīng)分為和兩種情況
(1)時, …………………………………(6分)
(2)時, ……………………………………(8分)
所以得 …………………………………………………(9分)
若真假,則…………………………………………………………(10分)
若假真,則 ……………………………………………………………(11分)
故實數(shù)的取值范圍為或………………………………………(12分)
17.解:(1)由1的解集有且只有一個元素知
或 ………………………………………(2分)
當(dāng)時,函數(shù)在上遞增,此時不滿足條件2
綜上可知 …………………………………………(3分)
……………………………………(6分)
(2)由條件可知……………………………………(7分)
當(dāng)時,令或
所以或……………………………………………………………(9分)
又時,也有……………………………(11分)
綜上可得數(shù)列的變號數(shù)為3……………………………………………(12分)
18.解:(1)當(dāng)時,………………………(1分)
當(dāng)時,……………………(2分)
由,知又是周期為4的函數(shù),所以
當(dāng)時
…………………………(4分)
當(dāng)時
…………………………(6分)
故當(dāng)時,函數(shù)的解析式為
………………………………(7分)
(2)當(dāng)時,由,得
或或
解上述兩個不等式組得…………………………………………(10分)
故的解集為…………………(12分)
19.解:(1)當(dāng)時,,……………………(2分)
當(dāng)時,,
綜上,日盈利額(萬元)與日產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)關(guān)系為:
…………………………………………………………(4分)
(2)由(1)知,當(dāng)時,每天的盈利額為0……………………………(6分)
當(dāng)時,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
所以當(dāng)時,,此時……………………………(8分)
當(dāng)時,由知
函數(shù)在上遞增,,此時……(10分)
綜上,若,則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時,可獲得最大利潤
若,則當(dāng)日產(chǎn)量為萬件時,可獲得最大利潤…………(12分)
20.解:(1)將點(diǎn)代入得
因為直線,所以……………………………………(3分)
(2) ,
當(dāng)為偶數(shù)時,為奇數(shù),……………(5分)
當(dāng)為奇數(shù)時,為偶數(shù),(舍去)
綜上,存在唯一的符合條件…………………………………………………(7分)
(3)證明不等式即證明
成立,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
1當(dāng)時,不等式左邊=,原不等式顯然成立………………………(8分)
2假設(shè)時,原不等式成立,即
當(dāng)時
=
,即時,原不等式也成立 ………………(11分)
根據(jù)12所得,原不等式對一切自然數(shù)都成立 ……………………………(13分)
21.解:(1)由得……………………(1分)
又的定義域為,所以
當(dāng)時,
當(dāng)時,,為減函數(shù)
當(dāng)時,,為增函數(shù)………………………(5分)
所以當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為
單調(diào)遞減區(qū)間為…………………(6分)
(2)由(1)知當(dāng)時,,遞增無極值………(7分)
所以在處有極值,故且
因為且,所以在上單調(diào)
當(dāng)為增區(qū)間時,恒成立,則有
………………………………………(9分)
當(dāng)為減區(qū)間時,恒成立,則有
無解 ……………………(13分)
由上討論得實數(shù)的取值范圍為 …………………………(14分)
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