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數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)求:f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;
(2)由上述結(jié)果推測(cè)出計(jì)算f(n)的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為。數(shù)列定義如下:對(duì)于正整數(shù)m,是使得不等式成立的所有n中的最小值。 (1)若,求b3; (2)若,求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式;(3)是否存在p和q,使得?如果存在,求p和q的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為。數(shù)列定義如下:對(duì)于正整數(shù)m,是使得不等式成立的所有n中的最小值。
(1)若,求b3;
(2)若,求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式;
(3)是否存在p和q,使得?如果存在,求p和q的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為。數(shù)列定義如下:對(duì)于正整數(shù)m,是使得不等式成立的所有n中的最小值。 (1)若,求b3; (2)若,求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式;(3)是否存在p和q,使得?如果存在,求p和q的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
一.選擇題
1~10 BADDA BCBCD
二.填空題
11.2 12. 13. 14.8 15.45
三.解答題
16.解:因?yàn)?sub>,所以 ………………………………(1分)
由得,解得 ………………………………(3分)
因?yàn)?sub>,故集合應(yīng)分為和兩種情況
(1)時(shí), …………………………………(6分)
(2)時(shí), ……………………………………(8分)
所以得 …………………………………………………(9分)
若真假,則…………………………………………………………(10分)
若假真,則 ……………………………………………………………(11分)
故實(shí)數(shù)的取值范圍為或………………………………………(12分)
17.解:(1)由1的解集有且只有一個(gè)元素知
或 ………………………………………(2分)
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞增,此時(shí)不滿(mǎn)足條件2
綜上可知 …………………………………………(3分)
……………………………………(6分)
(2)由條件可知……………………………………(7分)
當(dāng)時(shí),令或
所以或……………………………………………………………(9分)
又時(shí),也有……………………………(11分)
綜上可得數(shù)列的變號(hào)數(shù)為3……………………………………………(12分)
18.解:(1)當(dāng)時(shí),………………………(1分)
當(dāng)時(shí),……………………(2分)
由,知又是周期為4的函數(shù),所以
當(dāng)時(shí)
…………………………(4分)
當(dāng)時(shí)
…………………………(6分)
故當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式為
………………………………(7分)
(2)當(dāng)時(shí),由,得
或或
解上述兩個(gè)不等式組得…………………………………………(10分)
故的解集為…………………(12分)
19.解:(1)當(dāng)時(shí),,……………………(2分)
當(dāng)時(shí),,
綜上,日盈利額(萬(wàn)元)與日產(chǎn)量(萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系為:
…………………………………………………………(4分)
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),每天的盈利額為0……………………………(6分)
當(dāng)時(shí),
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
所以當(dāng)時(shí),,此時(shí)……………………………(8分)
當(dāng)時(shí),由知
函數(shù)在上遞增,,此時(shí)……(10分)
綜上,若,則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn)
若,則當(dāng)日產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn)…………(12分)
20.解:(1)將點(diǎn)代入得
因?yàn)橹本,所以……………………………………(3分)
(2) ,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù),……………(5分)
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),(舍去)
綜上,存在唯一的符合條件…………………………………………………(7分)
(3)證明不等式即證明
成立,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
1當(dāng)時(shí),不等式左邊=,原不等式顯然成立………………………(8分)
2假設(shè)時(shí),原不等式成立,即
當(dāng)時(shí)
=
,即時(shí),原不等式也成立 ………………(11分)
根據(jù)12所得,原不等式對(duì)一切自然數(shù)都成立 ……………………………(13分)
21.解:(1)由得……………………(1分)
又的定義域?yàn)?sub>,所以
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù)
當(dāng)時(shí),,為增函數(shù)………………………(5分)
所以當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為
單調(diào)遞減區(qū)間為…………………(6分)
(2)由(1)知當(dāng)時(shí),,遞增無(wú)極值………(7分)
所以在處有極值,故且
因?yàn)?sub>且,所以在上單調(diào)
當(dāng)為增區(qū)間時(shí),恒成立,則有
………………………………………(9分)
當(dāng)為減區(qū)間時(shí),恒成立,則有
無(wú)解 ……………………(13分)
由上討論得實(shí)數(shù)的取值范圍為 …………………………(14分)
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