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圖中①、②、③分別表示3個開關(guān)，它們閉合的事件分別表示為A₁、A₂和A₃．它們閉合的概率均為．

    （1）試用A₁、A₂和A₃表示“燈亮”的事件M；

    （2）求P(M)的值．

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數(shù)學(xué)課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在

2

a和

3

a的塑料棒、又搭成了一個三棱錐，陳成同學(xué)邊聽課邊動手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為

3

a的塑料棒．
（1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒又是什么？請你用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解釋陳成同學(xué)失敗的原因；
（2）試證：平面ABD⊥平面CBD；
（3）求新三棱錐的外接球的表面積．

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數(shù)學(xué)課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在和的塑料棒、又搭成了一個三棱錐，陳成同學(xué)邊聽課邊動手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為的塑料棒．
（1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒又是什么？請你用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解釋陳成同學(xué)失敗的原因；
（2）試證：平面ABD⊥平面CBD；
（3）求新三棱錐的外接球的表面積．

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．D      2．B       3．D      4．A      5．C       6．D      7．C       8．A

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．

9．                10．（或）                       11．

12．                                             13．                                               14．

15．

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

解：，………………………………………………   3分

，………………………    3分

（1）；…………………………………………………….   2分

（2）因為的解集為，

所以為的兩根，………………………………………  2分

故，所以，．……………………………………. 2分

17．（本小題滿分12分）

解： …………………………………………  2分

…………………………………………     2分

…………………………………………………….     2分

（1）的最大值為、最小值為；……………………………………………… 2分

（2）單調(diào)增，故，……………………………  2分

即，

從而的單調(diào)增區(qū)間為．……………………  2分

18．（本小題滿分14分）

（1）證明：底面，

又，，故面

面，故…………………………………………………   4分

（2）證明：，，故

是的中點(diǎn)，故

由（1）知，從而面，故

易知，故面……………………………………………… 5分

（3）過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．

由（2）知，面，故是二面角的一個平面角．

設(shè)，則，，

從而，故．………………   5分

說明：如學(xué)生用向量法解題，則建立坐標(biāo)系給2分，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)給2分，第（1）問正確給2分，第（2）問正確給4分，第（3）問正確給4分。

19．（本小題滿分14分）

解：（1）拋物線方程為………………………………………………………  2分

故焦點(diǎn)的坐標(biāo)為………………………………………………………… 2分

（2）設(shè)

20．（本小題滿分14分）

解：（1）當(dāng)時，，

當(dāng)時，

所以

；……………………       4分

（2）因為，

所以

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以當(dāng)，且時，，即；…………   5分

（3）因為，，所以，

因為為等比數(shù)列，則或，

所以或（舍去），所以.…………………………       5分

21．（本小題滿分14分）

解：（1）由題意知，的定義域為，

      …… 1分

當(dāng)時， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．   …… 2分

（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時，函數(shù)無極值點(diǎn)．              

②時，有兩個相同的解，

時，

時，函數(shù)在上無極值點(diǎn)．             …… 3分

③當(dāng)時，有兩個不同解，

時，，

,

此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：

減

極小值

增

由此表可知：時，有惟一極小值點(diǎn)，          …… 5分

ii)   當(dāng)時，0<<1

此時，，隨的變化情況如下表：

增

極大值

減

極小值

增

由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點(diǎn)；                                                     …… 7分

綜上所述：

當(dāng)且僅當(dāng)時有極值點(diǎn);                                         …… 8分

當(dāng)時，有惟一最小值點(diǎn)；

當(dāng)時，有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)

（3）由(2)可知當(dāng)時，函數(shù)，

此時有惟一極小值點(diǎn)

且             …… 9分

                      …… 11分

令函數(shù)

                                               …… 12分

…… 14分