題目列表(包括答案和解析)
直三棱柱ABC—A1B1C1各頂點(diǎn)在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC
=120°則球的表面積為_(kāi)__________.
半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長(zhǎng)C(r)=2r,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(r2)`=2r ①,①式可以用語(yǔ)言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,類(lèi)比以上結(jié)論,請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于①的式子: ②,②式可以用語(yǔ)言敘述為: 。
直三棱柱ABC—A1B1C1各頂點(diǎn)在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°則球的表面積為_(kāi)__________.
(06年湖北卷文)半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長(zhǎng)C(r)=2r,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(r2)`=2r ,
(1)式可以用語(yǔ)言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。
對(duì)于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于(1)的式子: 。
(2)式可以用語(yǔ)言敘述為: 。
半徑為r的圓的面積S=r2,周長(zhǎng)C=2r,若將r看作(0,+∞)上的變量,則
①,①式可以用語(yǔ)言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于①的式子:
②,
②式可以用語(yǔ)言敘述為: 。
一、選擇題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分,滿(mǎn)分50分。
1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A
二、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分,滿(mǎn)分25分。
11. 12.0.94 13.(0,) 14.78
15..球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。
三、解答題
16.本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的基本知識(shí),以及運(yùn)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的能力。
解:(Ⅰ)∵
∴的最大值為,最小正周期是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
即成立的的取值集合是.
17.本小題主要考查分層抽樣的概念和運(yùn)算,以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
解:(Ⅰ)設(shè)登山組人數(shù)為,游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c,則有,解得b=50%,c=10%.
故a=100%-50%-10%=40%,即游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、
50%、10%。
(Ⅱ)游泳組中,抽取的青年人數(shù)為(人);抽取的中年人數(shù)為
50%=75(人);抽取的老年人數(shù)為10%=15(人)。
18.本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點(diǎn)到平面距離的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力。考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
解法1:(Ⅰ)因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn),所以AMBC,又AMC,所以AM面BC,從而AMM, AMNM,所以MN為二面角,―AM―N的平面角。又M=,MN=,
連N,得N=,在MN中,由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
(Ⅱ)過(guò)在面內(nèi)作直線,為垂足。又平面,所以AMH。于是H平面AMN,故H即為到平面AMN的距離。在中,H=M。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。
解法2:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則(0,0,1),M(0,,0),
C(0,1,0), N (0,1,) , A (),所以,
,,。
因?yàn)?/p>
所以,同法可得。
故??為二面角―AM―N的平面角
∴??=
故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
(Ⅱ)設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個(gè)法向量,則由得
故可取
設(shè)與n的夾角為a,則。
所以到平面AMN的距離為。
19.本小題主要考查層數(shù)的概念和計(jì)算,考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力。
解:依題意有而
故 解得 從而
。
令,得或。
由于在處取得極值,故,即。
(1) 若,即,則當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
從而的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為
(2) 若,即,同上可得,
的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為
20.本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能,考查分析問(wèn)題能力和推理能力。
解:(I)依題意得,即。
當(dāng)n≥2時(shí),a;
當(dāng)n=1時(shí),×-2×1-1-6×1-5
所以。
(II)由(I)得,
故=。
因此,使得?成立的m必須滿(mǎn)足≤,即m≥10,故滿(mǎn)足要求的最小整數(shù)m為10。
21.本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。
解:(I)依題意得解得 從而b=,
故橢圓方程為。
(II)解法1:由(I)得A(-2,0),B(2,0)。設(shè)。
點(diǎn)在橢圓上,。
又點(diǎn)異于頂點(diǎn)
曲三點(diǎn)共線可得.
從面
.
將①式代入②式化簡(jiǎn)得
>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).
解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)P(4,)(0),M(,),N(,),則直線AP的方程為,直線BP的方程為。
點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上,
=(+2),=(-2).從而=(+2)(-2).③
聯(lián)立消去y得(27+)+4x+4(-27)=0.
,-2是方程得兩根,(-2).,即=. ④
又.=(-2, ).(-2,)=(-2)(-2)+. ⑤
于是由③、④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得
.=(-2).
N點(diǎn)在橢圓上,且異于頂點(diǎn)A、B,<0.
又,> 0, 從而.<0.
故為鈍角,即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
解法3:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(,),N(,),則-2<<2 , -2<<2.又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(),
化簡(jiǎn)得-=(-2)(-2)+. ⑥
直線AP的方程為,直線BP的方程為.
點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=4上,
,即. ⑦
又M點(diǎn)在橢圓上,+=1,即 ⑧
于是將⑦、⑧式化簡(jiǎn)可得-=.
從而B(niǎo)在以MN為直徑的圓內(nèi).
2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖北卷)
數(shù)學(xué)(文史類(lèi))(編輯:寧岡中學(xué)張建華)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè),第Ⅱ卷3至4頁(yè),共4頁(yè)。全卷共150分?荚囉脮r(shí)120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分散。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、集合P={x|x2-16<0},Q={x|x=2n,nZ},則PQ=(C)
A.{-2,2} B.{-2,2,-4,4} C.{-2,0,2} D.{-2,2,0,-4,4}
解:P={x|x2-16<0}={x|-4<x<4},故PQ={-2,0,2},故選C
2、已知非零向量a、b,若a+2b與a-2b互相垂直,則(D)
A. B. 4 C. D. 2
解:由a+2b與a-2b互相垂直Þ(a+2b)?(a-2b)=0Þa2-4b2=0
即|a|2=4|b|2Þ|a|=2|b|,故選D
3、已知,A∈(0,),則(A)
A. B. C. D.
解:由sin2A=2sinAcosA=>0,又A∈(0,)所以AÎ(0,),所以sinA+cosA>0
又(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=故選A
4、在等比數(shù)列{an}中,a1=1,a10=3,則a2a3a4a5a6a7a8a9=( A )
A. 81 B. 27 C. D. 243
解:因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=
(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81,故選A
5、甲:A1、A2是互斥事件;乙:A1、A2是對(duì)立事件,那么(B)
A. 甲是乙的充分但不必要條件 B. 甲是乙的必要但不充分條件
C. 甲是乙的充要條件 D. 甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件
解:兩個(gè)事件是對(duì)立事件,則它們一定互斥,反之不成立。故選 B
6、關(guān)于直線m、n與平面與,有下列四個(gè)命題:(D)
①若且,則;
②若且,則;
③若且,則;
④若且,則;
其中真命題的序號(hào)是
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
解:用排除法可得選D
7、設(shè)f(x)=,則的定義域?yàn)?/p>
A. B.(-4,-1)(1,4) C. (-2,-1)(1,2) D. (-4,-2)(2,4)
解:f(x)的定義域是(-2,2),故應(yīng)有-2<<2且-2<<2解得-4<x<-1或1<x<4
故選B
8、在的展開(kāi)式中,x的冪的指數(shù)是整數(shù)的有(C)
A. 3項(xiàng) B. 4項(xiàng) C. 5項(xiàng) D. 6項(xiàng)
解:,當(dāng)r=0,3,6,9,12,15,18,21,24時(shí),x的指數(shù)分別是24,20,16,12,8,4,0,-4,-8,其中16,8,4,0,-8均為2的整數(shù)次冪,故選C
9、設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則點(diǎn)P的軌跡方程是( D )
A. B.
C. D.
解:設(shè)P(x,y),則Q(-x,y),又設(shè)A(a,0),B(0,b),則a>0,b>0,于是,由可得a=x,b=3y,所以x>0,y>0又=(-a,b)=(-x,3y),由=1可得
故選D
10、關(guān)于x的方程,給出下列四個(gè)命題:
①存在實(shí)數(shù),使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根;
②存在實(shí)數(shù),使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;
③存在實(shí)數(shù),使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根;
④存在實(shí)數(shù),使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根;
其中假命題的個(gè)數(shù)是( A )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:關(guān)于x的方程可化為…………(1)
或(-1<x<1)…………(2)
① 當(dāng)k=-2時(shí),方程(1)的解為±,方程(2)無(wú)解,原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
② 當(dāng)k=時(shí),方程(1)有兩個(gè)不同的實(shí)根±,方程(2)有兩個(gè)不同的實(shí)根±,即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
③ 當(dāng)k=0時(shí),方程(1)的解為-1,+1,±,方程(2)的解為x=0,原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根
④ 當(dāng)k=時(shí),方程(1)的解為±,±,方程(2)的解為±,±,即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根
選A
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
注意事項(xiàng):
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無(wú)效。
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在答題卡相應(yīng)位置上。
11、在ABC中,已知,b=4,A=30°,則sinB=.
解:由正弦定理易得結(jié)論。
12.接種某疫苗后,出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80,現(xiàn)有5人接種了該疫苗,至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為精確到0.01)
解:P==0.94
13、若直線y=kx+2與圓(x-2)2+(y-3)2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k 的取值范圍是.
解:由直線y=kx+2與圓(x-2)2+(y-3)2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得直線與圓的位置關(guān)系是相交,故圓心到直線的距離小于圓的半徑,即<1,解得kÎ(0,)
14、安排5名歌手的演出順序時(shí),要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng),另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng),不同排法的總數(shù)是.(用數(shù)字作答)
解:分兩種情況:(1)不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手第一個(gè)出場(chǎng),有種排法
(2)不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手不第一個(gè)出場(chǎng),有種排法
故共有78種不同排法
15、半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長(zhǎng)C(r)=2r,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(r2)`=2r 1,
1式可以用語(yǔ)言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。
對(duì)于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于1的式子:2
2式可以用語(yǔ)言敘述為:。
解:V球=,又 故2式可填,用語(yǔ)言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)!
三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。
16、(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函數(shù)f(x)=a?(a+b).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值與最小正周期;
(Ⅱ)求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
解:(Ⅰ)∵
∴的最大值為,最小正周期是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
即成立的的取值集合是.
17、(本小題滿(mǎn)分12分)
某單位最近組織了一次健身活動(dòng),活動(dòng)分為登山組和游泳組,且每個(gè)職工至多參加了其中一組。在參加活動(dòng)的職工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%。登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的,且該組中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%。為了了解各組不同的年齡層次的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿(mǎn)意程度,現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為200的樣本。試確定
(Ⅰ)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別所占的比例;
(Ⅱ)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。
解:(Ⅰ)設(shè)登山組人數(shù)為,游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c,則有,解得b=50%,c=10%.
故a=100%-50%-10%=40%,即游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、
50%、10%。
(Ⅱ)游泳組中,抽取的青年人數(shù)為(人);抽取的中年人數(shù)為
50%=75(人);抽取的老年人數(shù)為10%=15(人)。
18、(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1,M是底面BC邊上的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=2C1N.
(Ⅰ)求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值;
(Ⅱ)求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。
解法1:(Ⅰ)因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn),所以AMBC,又AMC,所以AM面BC,從而AMM, AMNM,所以MN為二面角,―AM―N的平面角。又M=,MN=,
連N,得N=,在MN中,由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
(Ⅱ)過(guò)在面內(nèi)作直線,為垂足。又平面,所以AMH。于是H平面AMN,故H即為到平面AMN的距離。在中,H=M。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。
解法2:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則(0,0,1),M(0,,0),
C(0,1,0), N (0,1,) , A (),所以,
,,。
因?yàn)?/p>
所以,同法可得。
故??為二面角―AM―N的平面角
∴??=
故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
(Ⅱ)設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個(gè)法向量,則由得
故可取
設(shè)與n的夾角為a,則。
所以到平面AMN的距離為。
19、(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1處取得極值-2,試用c表示a和b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
解:依題意有而
故 解得 從而
。
令,得或。
由于在處取得極值,故,即。
(3) 若,即,則當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
從而的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為
(4) 若,即,同上可得,
的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為
20、(本小題13分)
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)y=3x-2的圖像上。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m。
解:(I)依題意得,即。
當(dāng)n≥2時(shí),a;
當(dāng)n=1時(shí),×-2×1-1-6×1-5
所以。
(II)由(I)得,
故=。
因此,使得?成立的m必須滿(mǎn)足≤,即m≥10,故滿(mǎn)足要求的最小整數(shù)m為10。
21、(本小題滿(mǎn)分13分)
設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且為它的右準(zhǔn)線。
(Ⅰ)、求橢圓的方程;
(Ⅱ)、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn),證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。
_ 2 _ 1 _ - 1 _ - 2 _ - 3 _ - 4 _ - 2 _ 2 _ 4 _ B _ A _ M _ N 解:(I)依題意得解得 從而b=, 故橢圓方程為。 (II)解法1:由(I)得A(-2,0),B(2,0)。設(shè)。 點(diǎn)在橢圓上,。 又點(diǎn)異于頂點(diǎn) 曲三點(diǎn)共線可得. 從面 . 將①式代入②式化簡(jiǎn)得 >0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi). 解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)P(4,)(0),M(,),N(,),則直線AP的方程為,直線BP的方程為。 點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上, =(+2),=(-2).從而=(+2)(-2).③ 聯(lián)立消去y得(27+)+4x+4(-27)=0. ,-2是方程得兩根,(-2).,即=. ④ 又.=(-2, ).(-2,)=(-2)(-2)+. ⑤ 于是由③、④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得 .=(-2). N點(diǎn)在橢圓上,且異于頂點(diǎn)A、B,<0. 又,> 0, 從而.<0. 故為鈍角,即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi). 解法3:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(,),N(,),則-2<<2 , -2<<2.又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(), 化簡(jiǎn)得-=(-2)(-2)+.
⑥ 直線AP的方程為,直線BP的方程為. 點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=4上, ,即.
⑦ 又M點(diǎn)在橢圓上,+=1,即
⑧ 于是將⑦、⑧式化簡(jiǎn)可得-=. 從而B(niǎo)在以MN為直徑的圓內(nèi). 百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表 湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
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