題目列表(包括答案和解析)
歐拉(Euler),瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家.1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾,1783年9月18日于俄國彼得堡去逝.歐拉出生于牧師家庭,自幼受父親的教育,13歲時入讀巴塞爾大學(xué),15歲大學(xué)畢業(yè),16歲獲碩士學(xué)位.
歐拉是18世紀數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一,他不但為數(shù)學(xué)界做出了巨大的貢獻,更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理的領(lǐng)域.他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家,平均每年寫出八百多頁的論文,還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本,《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作.
歐拉對數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)立及推廣起了積極的作用.比如用e表示自然對數(shù)的底,用i表示-1,用f(x)作為函數(shù)的符號,π雖不是歐拉首先提出的,但是在歐拉倡導(dǎo)下推廣普及的.尤為不可思議的是歐拉將數(shù)學(xué)中最為活躍的五個數(shù)1,0,π,e,i竟用一個美妙絕倫的公式聯(lián)系了起來:eiπ+1=0(歐拉指數(shù)公式),在西方數(shù)學(xué)界甚至認為此公式不亞于神的力量.
歐拉對數(shù)學(xué)的研究如此廣泛,因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.
1.你對歐拉(Euler)了解嗎?請查閱歐拉(Euler)的故事,對于他“13歲時入讀巴塞爾大學(xué),15歲大學(xué)畢業(yè),16歲獲碩士學(xué)位”,你有何感觸?
2.作為新時代的青年,你做好將來為科學(xué)事業(yè)做貢獻的思想準備了嗎?
17世紀,科學(xué)家們致力于運動的研究,如計算天體的位置,遠距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量,炮彈的速度對于高度和射程的影響等.諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關(guān)系,并根據(jù)這種關(guān)系對事物的變化規(guī)律作出判斷,如根據(jù)炮彈的速度推測它能達到的高度和射程.這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景.
“function”一詞最初由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G.W.Leibniz,1646~1716)在1692年使用.在中國,清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811~1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”.
萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量,如坐標、切線等.1718年,他的學(xué)生,瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J.Bernoulli,1667~1748)強調(diào)函數(shù)要用公式表示.后來,數(shù)學(xué)家認為這不是判斷函數(shù)的標準.只要一些變量變化,另一些變量隨之變化就可以了.所以,1755年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707~1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量,以一種方式依賴于另一些變量,我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”.
當時很多數(shù)學(xué)家對于不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣,甚至抱懷疑態(tài)度.函數(shù)的概念仍然是比較模糊的.
隨著對微積分研究的深入,18世紀末19世紀初,人們對函數(shù)的認識向前推進了.德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805~1859)在1837年時提出:“如果對于x的每一個值,y總有一個完全確定的值與之對應(yīng),則y是x的函數(shù)”.這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個法則,使得取值范圍中的每一個值,有一個確定的y和它對應(yīng)就行了,不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式.19世紀70年代以后,隨著集合概念的出現(xiàn),函數(shù)概念又進而用更加嚴謹?shù)募虾蛯?yīng)語言表述,這就是本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念.
綜上所述可知,函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實際需要緊密相關(guān),而且隨著研究的深入,函數(shù)概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達,這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的.
你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景,談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會嗎?
1.探尋科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的過程,對指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)有什么現(xiàn)實意義?
2.萊布尼茲、狄利克雷等科學(xué)家有哪些品質(zhì)值得我們學(xué)習(xí)?
已知向量(),向量,,
且.
(Ⅰ)求向量; (Ⅱ)若,,求.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運算,以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運用。
(1)問中∵,∴,…………………1分
∵,得到三角關(guān)系是,結(jié)合,解得。
(2)由,解得,,結(jié)合二倍角公式,和,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴,…………1分
∵,∴,即 ① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得,,5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即,, …………7分
∴, ………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴,即,①……2分
又 ②
將①代入②中,可得 ③ …………………4分
將③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一 ∵,,∴,且……7分
∴,從而. …………………8分
由(Ⅰ)知, ; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴, 又,∴ ……11分
綜上可得 ………………………………12分
方法二∵,,∴,且…………7分
∴. ……………8分
由(Ⅰ)知, . …………9分
∴ ……………10分
∵,且注意到,
∴,又,∴ ………………………11分
綜上可得 …………………12分
(若用,又∵ ∴ ,
為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做實驗,將這200只家兔隨機地分成兩組。每組100只,其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B。下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的實驗結(jié)果。(皰疹面積單位:)
表1:注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積 |
||||
頻數(shù) |
30 |
40 |
20 |
10 |
頻率/組距 |
|
|
|
|
表2:注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積 |
|||||
頻數(shù) |
10 |
25 |
20 |
30 |
15 |
頻率/組距 |
|
|
|
|
|
(1) 完成上面兩個表格及下面兩個頻率分布直方圖;
(2)完成下面列聯(lián)表,并回答能否有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。 (結(jié)果保留4位有效數(shù)字)
|
皰疹面積小于70 |
皰疹面積不小于70 |
合計 |
注射藥物A |
a= |
b= |
|
注射藥物B |
c= |
d= |
|
合計 |
|
|
n= |
附:
P(K2≥k) |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.001 |
k |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
10.828 |
;
【解析】根據(jù)已知條件,得到列聯(lián)表中的a,b,c,d的值,代入已知的公式中
然后求解值,判定兩個分類變量的相關(guān)性。
解:
由于K2≥10.828,所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”
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