題目列表(包括答案和解析)
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
35 |
54 |
35 |
54 |
A. B. C D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3到10頁?荚嚱Y(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項(xiàng):
1.答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。不能答在試題卷上。
3.本卷共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
參考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球是表面積公式
如果事件A、B相互獨(dú)立,那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
一.選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分;
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
B
D
B
C
D
B
A
C
(1)已知集合,集合,則集合
(A) (B)
(C) (D)
(2)函數(shù)的反函數(shù)是
(A) (B)
(C) (D)
(3)曲線在點(diǎn)處的切線方程是
(A) (B)
(C) (D)
(4)如圖,已知正六邊形,下列向量的數(shù)量積中最大的是
(A) (B)
(C) (D)
(5)甲校有名學(xué)生,乙校有名學(xué)生,丙校有名學(xué)生,為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況,計(jì)劃采用分層抽樣法,抽取一個(gè)容量為人的樣本,應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生
(A)人,人,人 (B)人,人,人
(C)人,人,人 (D)人,人,人
(6)下列函數(shù)中,圖象的一部分如右圖所示的是
(A) (B)
(C) (D)
(7) 已知二面角的大小為,為異面直線,且,則所成的角為
(A) (B) (C) (D)
(8) 已知兩定點(diǎn),如果動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于
(A) (B) (C) (D)
(9) 如圖,正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一
個(gè)大圓上,點(diǎn)在球面上,如果,則球的表面積是
(A) (B) (C) (D)
(10) 直線與拋物線交于兩點(diǎn),過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線
作垂線,垂足分別為,則梯形的面積為
(A) (B) (C) (D)
(11)設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對的邊,則是的
(A)充分條件 (B)充分而不必要條件
(C)必要而充分條件 (D)既不充分又不必要條件
(12)從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這個(gè)數(shù)不能被整除的概率為
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
二.填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分;把答案填在題中的橫線上。
(13)展開式中的系數(shù)為________________(用數(shù)字作答)
(14)設(shè)滿足約束條件:,則的最小值為________________;
(15)如圖,把橢圓的長軸分成等份,過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn),是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則
________________;
(16)是空間兩條不同直線,是兩個(gè)不同平面,下面有四個(gè)命題:
① ②
③ ④
其中真命題的編號是_______①,②_________;(寫出所有真命題的編號)
三.解答題:本大題共6小題,共74分;解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
(17)(本大題滿分12分)
數(shù)列的前項(xiàng)和記為
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)等差數(shù)列的各項(xiàng)為正,其前項(xiàng)和為,且,又成等比數(shù)列,求
本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。
解:(Ⅰ)由可得,兩式相減得
又 ∴
故是首項(xiàng)為,公比為得等比數(shù)列
∴
(Ⅱ)設(shè)的公比為
由得,可得,可得
故可設(shè)
又
由題意可得
解得
∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正,∴
∴
∴
(18)(本大題滿分12分)
已知是三角形三內(nèi)角,向量,且
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,求
本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式,考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。
解:(Ⅰ)∵ ∴
即
∵
∴
∴
(Ⅱ)由題知,整理得
∴ ∴
∴或
而使,舍去
∴
(19)(本大題滿分12分)
某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為;在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為,所有考核是否合格相互之間沒有影響
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;
(Ⅱ)求這三人該課程考核都合格的概率。(結(jié)果保留三位小數(shù))
本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對立事件等概率的計(jì)算方法,考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
解:記“甲理論考核合格”為事件,“乙理論考核合格”為事件,“丙理論考核合格”為事件, 記為的對立事件,;記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,
(Ⅰ)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件,記為的對立事件
解法1:
解法2:
所以,理論考核中至少有兩人合格的概率為
(Ⅱ)記“三人該課程考核都合格” 為事件
所以,這三人該課程考核都合格的概率為
(20)(本大題滿分12分)
如圖,在長方體中,分別是的
中點(diǎn),分別是的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:面;
(Ⅱ)求二面角的大小。
本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),以及空間想象能力和推理能力。滿分12分
解法一:
(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連結(jié)
∵分別為的中點(diǎn)
∵
∴面,面
∴面面
∴面
(Ⅱ)設(shè)為的中點(diǎn)
∵為的中點(diǎn) ∴
∴面
作,交于,連結(jié),則由三垂線定理得
從而為二面角的平面角。
在中,,從而
在中,
故:二面角的大小為
方法二:以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸,建立直角坐標(biāo)系,則
∵分別是的中點(diǎn)
∴
(Ⅰ)
取,顯然面
,∴
又面
∴面
∴過作,交于,取的中點(diǎn),則
設(shè),則
又
由,及在直線上,可得:
解得
∴
∴ 即
∴與所夾的角等于二面角的大小
故:二面角的大小為
(21)(本大題滿分12分)
已知函數(shù),其中是的導(dǎo)函數(shù)
(Ⅰ)對滿足的一切的值,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè),當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí),函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及推理能力、運(yùn)輸能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。滿分12分。
解:(Ⅰ)由題意
令,
對,恒有,即
∴ 即
解得
故時(shí),對滿足的一切的值,都有
(Ⅱ)
①當(dāng)時(shí),的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
②當(dāng)時(shí),列表:
極大
極小
∴
又∵的值域是,且在上單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)時(shí),恒有
由題意得
即
解得
綜上,的取值范圍是
(22)(本大題滿分14分)
已知兩定點(diǎn),滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線,直線與曲線交于兩點(diǎn)
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)如果,且曲線上存在點(diǎn),使,求的值和的面積
本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分14分。
解:(Ⅰ)由雙曲線的定義可知,曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,
且,易知
故曲線的方程為
設(shè),由題意建立方程組
消去,得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),有
解得
∵
依題意得
整理后得
∴或
但 ∴
故直線的方程為
設(shè),由已知,得
∴,
又,
∴點(diǎn)
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程,得得,
但當(dāng)時(shí),所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上,不合題意
∴,點(diǎn)的坐標(biāo)為
到的距離為
∴的面積
錄入:四川省內(nèi)江市隆昌縣黃家中學(xué)
程 亮
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
(四川卷)文科數(shù)學(xué)及參考答案
一.選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分;
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
B
D
B
C
D
B
A
C
(1)已知集合=,集合,則集合,選C.
(2)函數(shù),解得(y∈R),所以原函數(shù)的反函數(shù)是,選A.
(3)曲線,導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)處的切線的斜率為,所以切線方程是,選D.
(4)如圖,已知正六邊形,設(shè)邊長,則∠=.,,=,∠=,,=,=0,<0,∴ 數(shù)量積中最大的是,選A
(5)甲校有名學(xué)生,乙校有名學(xué)生,丙校有名學(xué)生,為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況,計(jì)劃采用分層抽樣法,抽取一個(gè)容量為人的樣本,應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生人,人,人,選B.
(6)從圖象看出,T=,所以函數(shù)的最小正周期為π,函數(shù)應(yīng)為y=向左平移了個(gè)單位,即
=,所以選D.
(7) 已知二面角的大小為,為異面直線,且,則所成的角為兩條直線所成的角,∴ θ=,選B.
(8) 已知兩定點(diǎn),如果動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
則,即,所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π,選C.
(9) 如圖,正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上,點(diǎn)在球面上,PO⊥底面ABCD,PO=R,,,所以,R=2,球的表面積是,選D.
(10) 直線與拋物線交于兩點(diǎn),過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為,聯(lián)立方程組得,消元得,解得,和,∴ |AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,梯形的面積為48,選B.
(11)設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對的邊,若,
則,則,
∴ ,,
又,∴ ,∴ ,,
若△ABC中,,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到,
所以是的充要條件,選A.
(12)從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這個(gè)數(shù)不能被整除。
所有的三位數(shù)有個(gè),將10個(gè)數(shù)字分成三組,即被3除余1的有{1,4,7}、被3除余2的有{2,5,8},被3整除的有{3,6,9,0},若要求所得的三位數(shù)被3整除,則可以分類討論:①三個(gè)數(shù)字均取第一組,或均取第二組,有個(gè);② 若三個(gè)數(shù)字均取自第三組,則要考慮取出的數(shù)字中有無數(shù)字0,共有個(gè);③ 若三組各取一個(gè)數(shù)字,第三組中不取0,有個(gè),④若三組各取一個(gè)數(shù)字,第三組中取0,有個(gè),這樣能被3 整除的數(shù)共有228個(gè),不能被整除的數(shù)有420個(gè),所以概率為=,選C。
第Ⅱ卷
二.填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分;把答案填在題中的橫線上。
(13)展開式中的項(xiàng)為,的系數(shù)為-960。
(14)設(shè)滿足約束條件:,在直角坐標(biāo)系中畫出可行域△ABC,其中A(1,),B(1,8),C(4,2),所以的最小值為-6。
(15)如圖,把橢圓的長軸分成等份,過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn),是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則根據(jù)橢圓的對稱性知,,同理其余兩對的和也是,又,∴ =35.
(16)是空間兩條不同直線,是兩個(gè)不同平面,下面有四個(gè)命題:
①,為真命題;②,為ie假命題;
③為假命題; ④為真命題,
所以真命題的編號是①、④.
三.解答題:本大題共6小題,共74分;解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
(17)(本大題滿分12分)
數(shù)列的前項(xiàng)和記為
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)等差數(shù)列的各項(xiàng)為正,其前項(xiàng)和為,且,又成等比數(shù)列,求
本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。
解:(Ⅰ)由可得,兩式相減得
又 ∴
故是首項(xiàng)為,公比為得等比數(shù)列
∴
(Ⅱ)設(shè)的公比為
由得,可得,可得
故可設(shè)
又
由題意可得
解得
∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正,∴
∴
∴
(18)(本大題滿分12分)
已知是三角形三內(nèi)角,向量,且
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,求
本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式,考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。
解:(Ⅰ)∵ ∴
即
∵
∴
∴
(Ⅱ)由題知,整理得
∴ ∴
∴或
而使,舍去
∴
(19)(本大題滿分12分)
某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為;在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為,所有考核是否合格相互之間沒有影響
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;
(Ⅱ)求這三人該課程考核都合格的概率。(結(jié)果保留三位小數(shù))
本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對立事件等概率的計(jì)算方法,考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
解:記“甲理論考核合格”為事件,“乙理論考核合格”為事件,“丙理論考核合格”為事件, 記為的對立事件,;記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,
(Ⅰ)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件,記為的對立事件
解法1:
解法2:
所以,理論考核中至少有兩人合格的概率為
(Ⅱ)記“三人該課程考核都合格” 為事件
所以,這三人該課程考核都合格的概率為
(20)(本大題滿分12分)
如圖,在長方體中,分別是的
中點(diǎn),分別是的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:面;
(Ⅱ)求二面角的大小。
本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),以及空間想象能力和推理能力。滿分12分
解法一:
(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連結(jié)
∵分別為的中點(diǎn)
∵
∴面,面
∴面面
∴面
(Ⅱ)設(shè)為的中點(diǎn)
∵為的中點(diǎn) ∴
∴面
作,交于,連結(jié),則由三垂線定理得
從而為二面角的平面角。
在中,,從而
在中,
故:二面角的大小為
方法二:以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸,建立直角坐標(biāo)系,則
∵分別是的中點(diǎn)
∴
(Ⅰ)
取,顯然面
,∴
又面
∴面
∴過作,交于,取的中點(diǎn),則
設(shè),則
又
由,及在直線上,可得:
解得
∴
∴ 即
∴與所夾的角等于二面角的大小
故:二面角的大小為
(21)(本大題滿分12分)
已知函數(shù),其中是的導(dǎo)函數(shù)
(Ⅰ)對滿足的一切的值,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè),當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí),函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及推理能力、運(yùn)輸能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。滿分12分。
解:(Ⅰ)由題意
令,
對,恒有,即
∴ 即
解得
故時(shí),對滿足的一切的值,都有
(Ⅱ)
①當(dāng)時(shí),的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
②當(dāng)時(shí),列表:
極大
極小
∴
又∵的值域是,且在上單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)時(shí),恒有
由題意得
即
解得
綜上,的取值范圍是
(22)(本大題滿分14分)
已知兩定點(diǎn),滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線,直線與曲線交于兩點(diǎn)
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)如果,且曲線上存在點(diǎn),使,求的值和的面積
本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分14分。
解:(Ⅰ)由雙曲線的定義可知,曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,
且,易知
故曲線的方程為
設(shè),由題意建立方程組
消去,得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),有
解得
∵
依題意得
整理后得
∴或
但 ∴
故直線的方程為
設(shè),由已知,得
∴,
又,
∴點(diǎn)
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程,得得,
但當(dāng)時(shí),所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上,不合題意
∴,點(diǎn)的坐標(biāo)為
到的距離為
∴的面積
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