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解:令.則. 當(dāng)時.有最大值..顯然沒有最小值【查看更多】

一段長為32米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18米，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

【解析】解：令矩形與墻垂直的兩邊為寬并設(shè)矩形寬為，則長為

所以矩形的面積（）（4分=128 （8分）

當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，此時有最大值128

所以當(dāng)矩形的長為=16，寬為8時，

菜園面積最大，最大面積為128 （13分）答：當(dāng)矩形的長為16米，寬為8米時。菜園面積最大，最大面積為128平方米（注：也可用二次函數(shù)模型解答）

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設(shè)函數(shù)f（x）=x²+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）請先閱讀下列材料，然后回答問題．
材料：已知函數(shù)g（x）=

，問函數(shù)g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．一個同學(xué)給出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x²-x，則u=-（x+

）²+

，
當(dāng)x=-

時，u有最大值，u_max=

，顯然u沒有最小值，
∴當(dāng)x=-

時，g（x）有最小值4，沒有最大值．
請回答：上述解答是否正確？若不正確，請給出正確的解答；
（3）設(shè)a_n=

，請?zhí)岢龃藛栴}的一個結(jié)論，例如：求通項a_n．并給出正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，．解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應(yīng)給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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（2009•金山區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）請先閱讀下列材料，然后回答問題．
材料：已知函數(shù)g（x）=-

1

f(x)

，問函數(shù)g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．一個同學(xué)給出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x²-x，則u=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
當(dāng)x=-

1

2

時，u有最大值，u_max=

1

4

，顯然u沒有最小值，
∴當(dāng)x=-

1

2

時，g（x）有最小值4，沒有最大值．
請回答：上述解答是否正確？若不正確，請給出正確的解答；
（3）設(shè)a_n=

f(n)

2n-1

，請?zhí)岢龃藛栴}的一個結(jié)論，例如：求通項a_n．并給出正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，．解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應(yīng)給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時，，則。

依題意得：，即解得

第二問當(dāng)時，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時，，則。

依題意得：，即解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時，，令得

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

	0
—	0	+	0	—
單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0；

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增。∴在最大值為。

綜上，當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：即（**）

令，則

∴在上單調(diào)遞增， ∵ ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

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一．填空題（每題4分，共48分）

1. {0}; 2. 四; 3. 12; 4. 0; 5. 4; 6. 理、文7; 7. 理2a、文4;

8. 0.25; 9. 126; 10. 18; 11. ; 12. (或).

二．選擇題（每題4分，共16分）

13．D； 14．B； 15．C； 16．理B、文B．

三. 解答題. 17.（本題滿分12分）解：由已知得 (3分)

∴, ∴ (6分)

∴ 又，即,∴ (9分)

∴的面積S=． (12分)

18.（本題滿分12分）解：∵，∴ (5分)

∵，欲使是純虛數(shù)，

而=                      (7分)
   ∴，即                     (11分)
   ∴當(dāng)時，是純虛數(shù).                      (12分)

19.（本題滿分14分，第1小題滿分9分，第2小題滿分5分）

解：（1）依題意設(shè)，則， (2分)

(4分) 而，

∴，即， (6分) ∴ (7分)

從而. (9分)

（2）平面，

∴直線到平面的距離即點到平面的距離 (2分)

也就是的斜邊上的高，為. (5分)

20.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）

解：（1）不正確.                          (2分)
   沒有考慮到還可以小于.                  (3分)
   正確解答如下：
   令，則，
   當(dāng)時，，即                  (5分)
   當(dāng)時，，即                  (7分)
   ∴或，即既無最大值，也無最小值.           (8分)

（2）（理）對于函數(shù)，令
①當(dāng)時，有最小值，， (9分)

當(dāng)時，，即，當(dāng)時，即

∴或，即既無最大值，也無最小值. (10分)
②當(dāng)時，有最小值，，

此時，，∴，即，既無最大值，也無最小值       .(11分)
③當(dāng)時，有最小值，，即   (12分)
∴，即，
∴當(dāng)時，有最大值，沒有最小值.             (13分)
∴當(dāng)時，既無最大值，也無最小值。
當(dāng)時，有最大值，此時；沒有最小值.      (14分)