如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線l₁與一條漸近線l₂交于點M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，O為坐標(biāo)原點．
（I）求證：；
（II）若||=1且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷λ的范圍，并用代數(shù)方法給出證明．

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如圖，已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右準(zhǔn)線l₁與一條漸近線l₂交于點M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，O為坐標(biāo)原點．
（I）求證：

OM

⊥

MF

；
（II）若|

MF

|=1且雙曲線C的離心率e=

6

2

，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足

AP

=λ

AQ

，試判斷λ的范圍，并用代數(shù)方法給出證明．

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如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點，O為坐標(biāo)原點。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|，
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時，經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程。

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A；A；C；D；A；A；     C；C；B；C（文）D（理）；C；A

13、或；  14、80；   15、（理）（文）-2；   16、 ；

17、解：⑴

………………………………………3分

時，由得函數(shù)的遞增區(qū)間為

時，由得函數(shù)的遞增區(qū)間為

…………………………………………………………………………………………………………………5分

⑵

…………………………………………………………7分

時，得：（舍）

時，得

綜上，………………………………………………………………………………10分

18、解：用分別表示三列火車正點到達(dá)的事件，則

⑴恰有兩列火車正點到達(dá)的概率記為,則

……………………………………………6分

⑵(文科)用表示誤點的列數(shù)，則至少兩列誤點可表示為：

……………………………………………………………………………………12分

（理科）三列火車正點的列數(shù)分別為。則

……………………………………………………………10分

…………………………12分

19．解：方法一：（I）證明：，

又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，

平面ABCD ……2分

   在梯形ABCD中，可得

   ，即

    在平面ABCD內(nèi)的射影為AO，  ……4分

   （II）解：，且平面平面ABCD

    平面PBC， 平面PBC，

    為二面角P―DC―B的平面角        ……6分

    是等邊三角形即二面角P―DC―B的大小為  …8分

 （III）證明：取PB的中點N，連結(jié)CN， ①

    ，且平面平面ABCD，平面PBC     ……10分

    平面PAB    平面平面PAB  ②

     由①、②知平面PAB…………..10分

連結(jié)DM、MN，則由MN//AB//CD，，

得四邊形MNCD為平行四邊形，，平面PAB．

平面PAD    平面平面PAB ……………….12分

方法二：取BC的中點O，因為是等邊三角形，

    由側(cè)面底面ABCD    得底面ABCD ……1分

以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O―xyz……2分

（I）證明：，則在直角梯形中，

    在等邊三角形PBC中，……3分

    ，即…4分

 （II）解：取PC中點N，則

    平面PDC，顯然，且平面ABCD

    所夾角等于所求二面角的平面角    ……6分

 ，二面角的大小為   ……8分

（III）證明：取PA的中點M，連結(jié)DM，則M的坐標(biāo)為

    又          ……10分

，

    即

平面PAB，平面平面PAB ……12分

20．解：Ⅰ由已知得： …………………………………………………………2分

當(dāng)解得：……………………………………………………3分

當(dāng)時，，帶入上式得：

配方得：

所以……………………………………………………………5分

所以………………………………………………7分

Ⅱ（文科）

……………………………………………………………………………………10分

…………………………………12分

（理科）

………………………………………………………………………………9分

……………………11分

…………………………………………………………12分

21．解：（I）右準(zhǔn)線，漸近線

    ，

                     ……4分

    （II）

雙曲線C的方程為：               ……8分

    （III）由題意可得                           ……9分

    證明：設(shè)，點

    由得

    與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q

    ，得

的取值范圍是（0，1）                            ……12分

22．解：⑴；

當(dāng)時，；

令，該二次函數(shù)的對稱軸為

當(dāng)時，設(shè)，，則；

當(dāng)時，要使在上是單調(diào)函數(shù)，只能為上的減函數(shù)

故函數(shù)在上滿足：

或，解得。綜上………4分

⑵當(dāng)時，；

當(dāng)；當(dāng)

所以…………………………………………………4分

⑶反證法：不妨設(shè)，由⑵知

所以

所以

所以；

因為時，這與上面的結(jié)論矛盾，故

同理……………………………………………12分

(文)解：⑴

則，所以……………………………3分

；由此可知

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，函數(shù)取極大值………………………………………………………………6分

⑵在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像可知：

；令…………………………………………………9分

當(dāng)直線經(jīng)過交點時，取得最小值…………………………………12分