水平桌面上放置這一個(gè)容積為V的密閉長(zhǎng)方體玻璃容器ABCD—A₁B₁C₁D₁，其中裝有V的水.以下說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是為(    )

①把容器一端慢慢提起，使容器的一條棱AD保持在桌面上，這個(gè)過(guò)程中，水的形狀始終是柱體　

②在①中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，水面始終是矩形　

③把容器提離桌面，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，水面始終過(guò)長(zhǎng)方體內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)　

④在③中水與容器的接觸面積始終不變.

A.1              B.2                  C.3                     D.4

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

A

C

D

C

C

A

C

D

B

B

D

二、填空題

13.3        14.-a、b、-c         15.18             16.(1)(2)

三、解答題

17.解：(1)∵夾角為x,∴cosx=6

S=sin∠ABC=sin(π-x)=sinx                           …………2分

∴                                    …………4分

x∈[0,π],∴x∈[]                                                                              …………6分

(2)f(x)==cos⁴x×1+(-sinx)(sin³x+2sin2x)=cos⁴x-sin⁴x-2sinxcosx

=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-sin²x=cos²x-sin²x=2cos(2x+)                  …………9分

∵

∴f(x)∈[-]                                                                                       …………12分

18.解：(1)從平臺(tái)達(dá)到第一階每步只能上一階，因此概率P₁=                …………2分

從平臺(tái)到達(dá)第二階有二種走法：走兩步，或一步到達(dá)，

故概率為P₂=×+                                                                      …………5分

(2)該人走了五步，共上的階數(shù)ξ取值為5，6，7，8，9，10

ξ的分布列為：(6分)

ξ

5

6

7

8

9

10

P

()⁵

E_ξ=5×()5+6×    …………12分

19.(1)證：連結(jié)A₁D、A₁B

由已知可得△AA₁B和△A₁AD為全等的正三角形.

∴A₁B=A₁D∴A₁O⊥BD

又AB=AD，BD=BD

∴△ABD≌△A₁BD∴A₁O=AO=

又AA₁=2∴A₁O⊥AO

∴A₁O⊥平面ABCD                                                                        …………4分

(2)過(guò)C₁作C₁H⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于H，則C₁H⊥平面ABCD

連結(jié)BH，則∠C₁BH為BC₁與平面ABCD所成的角.

∵OH=A₁C₁=2，BO=，∴BH=

∴tan∠C₁BH=∠C₁BH=arctan                       …………8分

((2)也可用向量法求解)

(3)連結(jié)OO₁，易知AA₁∥OO₁，面AA₁O₁O⊥面BDD₁B₁

作A₁G⊥OO₁，則A₁G為AA₁與面B₁D₁DB的距離.

由(1)知A₁O=AO=A₁O₁，A₁O⊥A₁O₁

∴A₁G==1                                                                             …………12分

((3)也可用向量法或等積法求解)

20.(1)y²=,∵y²>0,x>0,∴x>3又y<0

  ∴y=-                                                                      …………4分

  (2)x=∴y=f^-1(x)=  (x<0)                                        …………7分

  設(shè)(x₀，y₀)為y=f^-1(x)圖象上任一點(diǎn).

  =

  故-                                                                                   …………12分

21.(1)，當(dāng)n=時(shí)，

∴c=                                                                                            …………3分

(2)∵直線x=∴P點(diǎn)在以F為焦點(diǎn)，x=為準(zhǔn)線的橢圓上                                                                                …………5分

設(shè)P(x,y)則點(diǎn)B(0，-1)代入，解得a=

∴曲線方程為                                                                   …………7分

 (3)設(shè)l:y=kx+m(k≠0)與聯(lián)立，消去y得：(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0,

  △>0得：m²<3k²+1                                                                         …………9分

  設(shè)M(x₁，y₁),N(x₂，y₂),MN中點(diǎn)A(x₀,y₀),由，

  由韋達(dá)定理代入K_BA=-，可得到m=

  ∴k²-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1                                                 …………11分

  即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l與曲線Q交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N

  使                                                                                 …………12分

22.(1)由于數(shù)列{a_n}的倒均數(shù)，V_n=

得：                                                           …………2分

當(dāng)n≥2時(shí)，所以，又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=也適合上式.

∴a_n=                                                                           …………6分

(2)由于{b_n}是公比為q=的等比數(shù)列，∴{}為公比為2的等比數(shù)列，其倒均數(shù)

V_n=，不等式V_n<                                      …………8分

若b₁<0,則2ⁿ-1>8n，令f(x)=2^x-8x-1，則f(x)=2^xln2-8,當(dāng)x≤3時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x>4時(shí)，f(x)>0,∴f(x)當(dāng)x≥4時(shí)是增函數(shù)又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故當(dāng)n≥6時(shí)，f(n)>0，即2n-1>8n恒成立，因此，存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m,n∈N*時(shí)，V_n<恒成立，且m的最小值為6……12分

若b₁>0,則上式即為2ⁿ-1<8n,顯然當(dāng)n≤5時(shí)成立，而n>5時(shí)不成立，故不存在正整數(shù)m,使n≥m(n∈N*)時(shí)，V_n=成立                                                                 …………14分