已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x= -1有極值0.若不等式f′在區(qū)間[a-6,b-6]上恒成立.求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R, c∈R).

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,,

求F(2)+F(-2)的值

(Ⅱ)若a=1,c=0,且在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍。

 

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(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=2x的定義域是[0,3]，設(shè)g(x)=f(2x)-f(x+2).

（1）求g(x)的解析式及定義域;

（2）求函數(shù)g(x)的最大值和最小值.

 

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(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=,x∈［0，2］.
（1）求f(x)的值域；
（2）設(shè)a≠0,函數(shù)g(x)=ax3-a2x,x∈［0，2］.若對(duì)任意x1∈［0，2］，總存在x2∈［0，2］，使f(x1)-g(x2)=0.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln(x+1)－x．
⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
⑵若，證明：．

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本小題滿分12分)

已知函數(shù)f (x)=x3+ ax2－bx  (a, b∈R) .

(1)若y=f (x)圖象上的點(diǎn)(1，－)處的切線斜率為－4，求y=f (x)的極大值；

(2)若y=f (x)在區(qū)間[－1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a + b的最小值.

 

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一、選擇題(本大題12小題，每小題5分，共60分)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

D

D

A

B

C

C

C

A

D

A

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.4949；      14.[]            15.②④；             16.x<0或x>2

三、解答題(本大題共6小題共74分)

17.解(1)設(shè)，由，有x+y=-1                         ①……………1分

  與的夾角為，有，

  ∴，則x2+y2=1                                                             ②……………2分

  由①②解得，∴(-1，0)或(0，-1)       ……………4分

  (2)由2B=A+C知B=                      ……………5分

  由垂直知(0，-1)，則

                                  ……………6分

  ∴

  =1+                   ……………8分

  ∵0<A<

  ∴-1≤cos(2A+)<

  即                                                               ………………10分

  故                                                           ………………12分

18.解：(1)過點(diǎn)A作AF⊥CB交CB延長線于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則AF⊥平面BCC1B1，∠AEF為所求直線AE與平面BCC1B1所成的角.                 …………………2分

  在Rt△AEF中，AF=∠AEF=

  故直線AE與平面BCC1B1所成的角為arctan             …………………6分

  (2)以O為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則

    A (0，-)，E (0，)，D1 (-1，0，2)

                                          …………………8分

   設(shè)平面AED1的一個(gè)法向量則

   取z=2，得=(3，-1，2)

   ∴點(diǎn)O到平面AED1的距離為d=              …………………12分

19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=1，

   ∴a1?a4,a7…,a3n-2是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

   ∴Pn=                                                …………………4分

   由

   ∴b2,b5,b8, …b3n-1是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列

   ∴Qn=                                 …………………8分

   (2)對(duì)于Pn≤100Qn

   當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不等式顯然不成立；

   當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，解得n=1，3，…，13.

所求之和為                                         ………………12分

20.解∵P(x=6)=                                                   ………………3分

  P(x=7)=                                             ………………6分

  P(x=8)=                                                      ………………9分

  ∴P(x≥6)=                                           ………………12分

  答：線路信息暢通的概率為

21.解：因?yàn)?i>f′(x)=3x2+6ax+b,由題設(shè)得

 

  解得：                                                       ………………4分

  ∴當(dāng)時(shí)，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,于是f(x)不存在極值；

  當(dāng)時(shí)，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),符合條件。    ………………6分

  且f(1)=20, f(0)=4，于是由題設(shè)得：3x2+12x+9≤20m-8在區(qū)間[-4，3]上恒成立，又f′(x)=3x2+12x+9=3(x+2)2-3在區(qū)間 [-4，3]上的最大值為72.

 ∴,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

22.(1)設(shè)M (x,y),則由且O是原點(diǎn)得

  A (2，0)，B  (2，1)，C (0，1)，從而(x，y),

 

  由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|2]

  即(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0為所求軌跡方程                                   ………………4分

  ①當(dāng)k=1時(shí)，y=0動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線

②當(dāng)k≠1時(shí)，(x-1)2+

k=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M軌跡是一個(gè)圓

k>1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M軌跡是一條雙曲線；

0<k<1或k<0時(shí)軌跡是一個(gè)橢圓 .                                     ………………6分

(2)當(dāng)k=時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+2y2=1即y2=-(x-1)2

從而

又由(x-1)2+2y2=1   ∴0≤x≤2

∴當(dāng)x=時(shí)，的最大值為.

當(dāng)x=0時(shí)，的最大值為16.

∴的最大值為4，最小值為                     …………………10分

(3)由由得

①當(dāng)0<k<1時(shí)，a2=1,b2=1-k,c2=k

∴e2=k ∴

②當(dāng)k<0時(shí)，e2=

∴k∈                                                      …………………14分

 


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