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（本小題滿分12分）
一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)形狀相同的小球，分別標(biāo)有不同的數(shù)字2，3，4，，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，并計(jì)算摸出的這2個(gè)球上的數(shù)字之和，記錄后將小球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。記A事件為“數(shù)字之和為7”.試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表

摸球總次數(shù)	10	20	30	60	90	120	180	240	330	450
“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)	1	9	14	24	26	37	58	82	109	150
“和為7”出現(xiàn)的頻率	0.10	0.45	0.47	0.40	0.29	0.31	0.32	0.34	0.33	0.33

（參考數(shù)據(jù)：）
（Ⅰ）如果試驗(yàn)繼續(xù)下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“數(shù)字之和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近。試估計(jì)“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率，并求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)定一種游戲規(guī)則：每次摸2球，若數(shù)字和為7，則可獲得獎(jiǎng)金7元，否則需交5元。某人摸球3次，設(shè)其獲利金額為隨機(jī)變量元，求的數(shù)學(xué)期望和方差。

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（本小題滿分12分）探究函數(shù)的最小值，并確定取得最小值時(shí)x的值.列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	16	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題.
(1)函數(shù)在區(qū)間（0，2）上遞減；函數(shù)在區(qū)間                     上遞增.當(dāng)             時(shí)，                 .
(2)證明：函數(shù)在區(qū)間（0，2）遞減.
(3)思考：函數(shù)時(shí)，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

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一、選擇題：1~12(5×12=60)

題號(hào)

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

答案

B

A

B

C

D

B

D

C

B

C

C

D

二、填空題：13、B；14、-；15、3²⁰⁰⁵；16、(2-2，2)。

三、解答題：

17.解：(1)根據(jù)已知條件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

              即：a=2sin2θ                                                                2分

              又由已知：

              得                                                                              4分

              所以有0<sin2θ<1

              所以a∈(0，2)                                                                            6分

         (2)當(dāng)a=時(shí)由(1)得2sin2θ=                                                     8分

              所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                 =-2cos2()+1=                               10分

              所以cos²()=,又

              所以cos()=-                                                                 12分

18.解：(1)f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)                                              3分

              ∵函數(shù)f(x)在x=3處取得極值

              ∴x=3時(shí)，f′(x)=0

∴a=3                                                                                         5分

          (2)f′(x)=6(x-1)(x-a)

              i)當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)≥0恒成立

               函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增                                                  7分

              ii)當(dāng)a<1時(shí)，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調(diào)增區(qū)間為(-∞，1)，(a,+∞)                                           9分

              iii)當(dāng)a>1時(shí)，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調(diào)增區(qū)間為(-∞，1)，(a,+∞)                                           11分

                綜上：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞，+∞)

                當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為

                (-∞，1)，(1，+∞)

                當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為

                (-∞，1)，(a，+∞)                                                                 12分

19.(九A解法)解：(1)取AC、CC₁中點(diǎn)分別為M、N，連接MN、NB₁、MB₁，

              ∵AC₁∥MN，NB₁∥CE

              ∴∠MNB₁是CE與AC₁成角的補(bǔ)角                                            2分

              Rt△NB₁C₁中，NB₁=

              Rt△MNC中，MN=6

              Rt△MBB₁中，MB₁=

              ∴cos∠MNB₁=-

              ∴CE與AC₁的夾角為arccos                                                4分

         (2)過D作DP∥AC交BC于P，則A₁D在面BCC₁B₁上的射影為C₁P，而CE⊥A₁D，由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C₁P，又BCC₁B為正方形

              ∴P為BC中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，                                                6分

              ∴CD⊥AB，CD⊥AA₁

              ∴CD⊥面ABB₁A₁                                                                       8分

         (3)由(2)CD⊥面A₁DE

              ∴過D作DF⊥A₁E于F，連接CF

              由三垂線定理可知CF⊥A₁E

              ∴∠CFD為二面角C-A₁E-D的平面角                                         10分

              又∵A₁D=

              ∴A₁D²+DE²=A₁E²=324

              ∴∠A₁DE=90°

              ∴DF=6，又CD=6

              ∴tan∠CFD=1

              ∴∠CFD=45°

∴二面角C-A₁E-D的大小為45°                                                12分

       (此題也可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的方法求解)

20.解：由已知得：

              不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              即：p(x-1)+x²-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              令f(p)=p(x-1)+x²-4x+3

              則有函數(shù)f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

          (1)顯然當(dāng)x=1時(shí)不恒成立

          (2)當(dāng)x≠1時(shí)，有即x>3或x<-1                             10分

              所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求                                                   12分

21.解：(1)經(jīng)觀察得第一行有2⁰個(gè)數(shù)，第二行有2¹個(gè)數(shù)，第三行有2²個(gè)數(shù)，第四行有2³個(gè)數(shù)------

              因此前n行有2⁰+2¹+2²+2³+---+2^n-1=個(gè)數(shù)

              所以，第n行的最后一個(gè)數(shù)是2ⁿ-1                                              4分

          (2)由(1)知，前n-1行菜有2^n-1-1個(gè)數(shù)，因此，第n行的第一個(gè)數(shù)為2n-1,第n行的最后一個(gè)是2n-1,它們構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列。

              因此，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有：

                              8分

          (3)因?yàn)?¹⁰=1024

                       2¹¹=2048

                       2¹⁰<2008<2¹¹

               所以2008位于第11行

              該行第一個(gè)數(shù)是2¹⁰=1024，由2008-1024+1=985

              所以2008是第11和的985個(gè)數(shù) 。                                              12分

22.解：(1)由已知可設(shè)F(c，0)，Q(x₁,y₁)

         則

         ∵

         ∴c(x₁-c)=1

         ∴x₁=                                                                                    2分

       又直線FQ的方程為：y=tanθ(x-c)

       ∴y₁=

       而S=

              =

              =tanθ                                                                                     4分

       又已知<S<2

       ∴      tanθ<4

       又θ為銳角

       ∴<arctan4                                                                                7分