題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的定義域為,且對于任意,存在正實數(shù)L,使得均成立。
(1)若,求正實數(shù)L的取值范圍;
(2)當時,正項數(shù)列{}滿足
①求證:;
②如果令,求證:.
已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.
【解析】第一問當時,,則。
依題意得:,即 解得
第二問當時,,令得,結(jié)合導數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當時,,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當時,,令得
當變化時,的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,!在上的最大值為2.
②當時, .當時, ,最大值為0;
當時, 在上單調(diào)遞增!在最大值為。
綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;
當時,即時,在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上
(1)當時,在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,若函數(shù)在上恰有兩個不同零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù),使函數(shù)f(x)和函數(shù)在公共定義域上具有相同的單調(diào)區(qū)間?若存在,求出的值,若不存在,說明理由。
(1)當時,在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,若函數(shù)在上恰有兩個不同零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù),使函數(shù)f(x)和函數(shù)在公共定義域上具有相同的單調(diào)區(qū)間?若存在,求出的值,若不存在,說明理由。
已知函數(shù)的定義域為,且對于任意,存在正實數(shù)L,使得均成立。
(1)若,求正實數(shù)L的取值范圍;
(2)當時,正項數(shù)列{}滿足
①求證:;
②如果令,求證:.
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