題目列表(包括答案和解析)
, .
, .
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.C
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.72 10. 11.1 , 12.f(x)=,3
13., 14.①②③④ , ①③②④
注:兩個空的填空題第一個空填對得2分,第二個空填對得3分.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(本小題滿分13分)
解:設既會唱歌又會跳舞的有x人,則文娛隊中共有(7-x)人,那么只會一項的人數(shù)是
(7-2 x)人.
(I)∵,
∴.……………………………………3分
即.
∴.
∴x=2. ……………………………………5分
故文娛隊共有5人.……………………………………7分
(II) 的概率分布列為
0
1
2
P
,……………………………………9分
,……………………………………11分
∴ =1. …………………………13分
16.(本小題滿分13分)
解:(I)由,得
.……………………………………2分
當x=1時,切線l的斜率為3,可得
當時,有極值,則,可得
由①、②解得 a=2,b=-4.……………………………………5分
設切線l的方程為 .
由原點到切線l的距離為,
則.解得m=±1.
∵切線l不過第四象限,
∴m=1.……………………………………6分
由于l切點的橫坐標為x=1,∴.
∴1+a+b+c=4.
∴c=5.…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可得,
∴.……………………………………8分
令,得x=-2, .
x
[-3,-2)
-2
(-2, )
(,1]
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
……………………………………11分
∴f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=13.
在處取得極小值=.
又f(-3)=8,f(1)=4.
∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為.……………………………………13分
17.(本小題滿分14分)
解法一:(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,
∴PCAB.…………………………2分
∵CD平面PAB,平面PAB,
∴CDAB.…………………………4分
又,
∴AB平面PCB. …………………………5分
(II) 過點A作AF//BC,且AF=BC,連結PF,CF.
則為異面直線PA與BC所成的角.………6分
由(Ⅰ)可得AB⊥BC,
∴CFAF.
由三垂線定理,得PFAF.
則AF=CF=,PF=,
在中, tan∠PAF==,
∴異面直線PA與BC所成的角為.…………………………………9分
(III)取AP的中點E,連結CE、DE.
∵PC=AC=2,∴CE PA,CE=.
∵CD平面PAB,
由三垂線定理的逆定理,得 DE PA.
∴為二面角C-PA-B的平面角.…………………………………11分
由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=.
在中,PB=,
.
在中, sin∠CED=.
∴二面角C-PA-B的大小為arcsin.……14分
解法二:(I)同解法一.
(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,
又∵AB=BC,可求得BC=.
以B為原點,如圖建立坐標系.
則A(0,,0),B(0,0,0),
C(,0,0),P(,0,2).
,.
…………………7分
則+0+0=2.
== .
∴異面直線AP與BC所成的角為.………………………10分
(III)設平面PAB的法向量為m= (x,y,z).
,,
則 即
解得 令= -1, 得 m= (,0,-1).
設平面PAC的法向量為n=().
,,
則 即
解得 令=1, 得 n= (1,1,0).……………………………12分
=.
∴二面角C-PA-B的大小為arccos.………………………………14分
18.(本小題滿分13分)
解:(I)設P(x,y),因為A、B分別為直線和上的點,故可設
,.
∵,
∴∴………………………4分
又,
∴.……………………………………5分
∴.
即曲線C的方程為.………………………………………6分
(II) 設N(s,t),M(x,y),則由,可得(x,y-16)= (s,t-16).
故,.……………………………………8分
∵M、N在曲線C上,
∴……………………………………9分
消去s得 .
由題意知,且,
解得 .………………………………………………………11分
又 , ∴.
解得 ().
故實數(shù)的取值范圍是().………………………………13分
19.(本小題滿分13分)
解:(I)∵,,,
∴.
即.
又,可知對任何,,
所以.……………………………2分
∵,
∴是以為首項,公比為的等比數(shù)列.………4分
(II)由(I)可知= ().
∴.
.……………………………5分
當n=7時,,;
當n<7時,,;
當n>7時,,.
∴當n=7或n=8時,取最大值,最大值為.……8分
(III)由,得 (*)
依題意(*)式對任意恒成立,
①當t=0時,(*)式顯然不成立,因此t=0不合題意.…………9分
、诋攖<0時,由,可知().
而當m是偶數(shù)時,因此t<0不合題意.…………10分
③當t>0時,由(),
∴ ∴. ()……11分
設 ()
∵ =,
∴.
∴的最大值為.
所以實數(shù)的取值范圍是.…………………………………13分
20.(本小題滿分14分)
解:(I) ∵x>0,∴
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在上是增函數(shù).
由0<a<b,且f(a)=f(b),
可得 0<a1<b和.
即.
∴2ab=a+b>.……………………………………3分
故,即ab>1.……………………………………4分
(II)不存在滿足條件的實數(shù)a,b.
若存在滿足條件的實數(shù)a,b,使得函數(shù)y=的定義域、值域都是
[a,b],則a>0.
① 當時,在(0,1)上為減函數(shù).
故 即
解得 a=b.
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………6分
② 當時,在上是增函數(shù).
故 即
此時a,b是方程的根,此方程無實根.
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………8分
③ 當,時,
由于,而,
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.
綜上可知,不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………10分
(III)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]時,值域為[ma,mb].
則a>0,m>0.
① 當時,由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),故.此時刻得a,b異號,不符合題意,所以a,b不存在.
② 當或時,由(II)知0在值域內(nèi),值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.
故只有.
∵在上是增函數(shù),
∴ 即
a, b是方程的兩個根.
即關于x的方程有兩個大于1的實根.……………………12分
設這兩個根為,.
則+=,?=.
∴ 即
解得 .
故m的取值范圍是.…………………………………………14分
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