20.已知函數(shù),.(I)當(dāng)0<a<b.且f時.求證:ab>1,(II)是否存在實數(shù)a.b.使得函數(shù)y=f(x)的定義域.值域都是[a.b].若存在.則求出a.b的值.若不存在.請說明理由.(III)若存在實數(shù)a.b.使得函數(shù)y=f(x)的定義域為 [a.b]時.值域為 [ma.mb],求m的取值范圍. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
的值域.

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(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求滿足的關(guān)系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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(本小題滿分14分) 設(shè)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù),命題上單調(diào)遞減;命題,若“”為假,求實數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿分14分)

如圖,斜三棱柱中,側(cè)面底面ABC,側(cè)面是菱形,,E、F分別是、AB的中點.

求證:(1)EF∥平面

(2)平面CEF⊥平面ABC

 

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(本小題滿分14分)

已知

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)判斷并證明的奇偶性與單調(diào)性;

(Ⅲ)若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍。

 

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.D  2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.C

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9.72    10.    11.1 ,       12.f(x)=,3

13.,          14.①②③④ , ①③②④

注:兩個空的填空題第一個空填對得2分,第二個空填對得3分.

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

15.(本小題滿分13分)

解:設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人,則文娛隊中共有(7-x)人,那么只會一項的人數(shù)是

(7-2 x)人.

 (I)∵,

.……………………………………3分

∴x=2.           ……………………………………5分

故文娛隊共有5人.……………………………………7分

(II) 的概率分布列為

0

1

2

P

,……………………………………9分

,……………………………………11分

=1.   …………………………13分

16.(本小題滿分13分)

解:(I)由,得

.……………………………………2分

當(dāng)x=1時,切線l的斜率為3,可得2a+b=0.       ①

當(dāng)時,有極值,則,可得4a+3b+4=0.②

由①、②解得    a=2,b=-4.……………………………………5分

設(shè)切線l的方程為 

由原點到切線l的距離為

.解得m=±1.

∵切線l不過第四象限,

∴m=1.……………………………………6分

由于l切點的橫坐標(biāo)為x=1,∴

∴1+a+b+c=4.

∴c=5.…………………………………………………………………7分

(II)由(I)可得,

.……………………………………8分

,得x=-2,

x

[-3,-2)

-2

(-2, )

(,1]

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值

……………………………………11分

∴f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=13.

處取得極小值=

又f(-3)=8,f(1)=4.

∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為.……………………………………13分

 

 

17.(本小題滿分14分)

解法一:(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,

∴PCAB.…………………………2分

∵CD平面PAB,平面PAB,

∴CDAB.…………………………4分

,

∴AB平面PCB.  …………………………5分

(II) 過點A作AF//BC,且AF=BC,連結(jié)PF,CF.

為異面直線PA與BC所成的角.………6分

由(Ⅰ)可得AB⊥BC,

∴CFAF.

由三垂線定理,得PFAF.

則AF=CF=,PF=,

中,  tan∠PAF==,

∴異面直線PA與BC所成的角為.…………………………………9分

(III)取AP的中點E,連結(jié)CE、DE.

∵PC=AC=2,∴CE PA,CE=

∵CD平面PAB,

由三垂線定理的逆定理,得  DE PA.

為二面角C-PA-B的平面角.…………………………………11分

由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=

  在中,PB=

   

    在中, sin∠CED=

∴二面角C-PA-B的大小為arcsin.……14分

解法二:(I)同解法一.

(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,

又∵AB=BC,可求得BC=

以B為原點,如圖建立坐標(biāo)系.

則A(0,,0),B(0,0,0),

C(,0,0),P(,0,2).

,

…………………7分

    則+0+0=2.

    ==

   ∴異面直線AP與BC所成的角為.………………………10分

(III)設(shè)平面PAB的法向量為m= (x,y,z).

,,

   即

解得   令= -1,  得 m= (,0,-1).

   設(shè)平面PAC的法向量為n=().

,

 則   即

解得   令=1,  得 n= (1,1,0).……………………………12分

    =

    ∴二面角C-PA-B的大小為arccos.………………………………14分

18.(本小題滿分13分)

解:(I)設(shè)P(x,y),因為A、B分別為直線上的點,故可設(shè)

   ,

   ∵,

   ∴………………………4分

   又,

   ∴.……………………………………5分

   ∴

  即曲線C的方程為.………………………………………6分

(II) 設(shè)N(s,t),M(x,y),則由,可得(x,y-16)= (s,t-16).

     故,.……………………………………8分

     ∵M(jìn)、N在曲線C上,

     ∴……………………………………9分

     消去s得 

由題意知,且

     解得   .………………………………………………………11分

又   , ∴

     解得  ).

   故實數(shù)的取值范圍是).………………………………13分

19.(本小題滿分13分)

解:(I)∵,

        ∴

        即

        又,可知對任何,,

所以.……………………………2分

        ∵

      ∴是以為首項,公比為的等比數(shù)列.………4分

    (II)由(I)可知=  ().

        ∴

        .……………………………5分

         當(dāng)n=7時,,

         當(dāng)n<7時,;

         當(dāng)n>7時,,

∴當(dāng)n=7或n=8時,取最大值,最大值為.……8分

  (III)由,得       (*)

        依題意(*)式對任意恒成立,

        ①當(dāng)t=0時,(*)式顯然不成立,因此t=0不合題意.…………9分

    、诋(dāng)t<0時,由,可知).

      而當(dāng)m是偶數(shù)時,因此t<0不合題意.…………10分

    、郛(dāng)t>0時,由),

 ∴.    ()……11分

      設(shè)     (

      ∵ =,

      ∴

      ∴的最大值為

      所以實數(shù)的取值范圍是.…………………………………13分

20.(本小題滿分14分)

解:(I) ∵x>0,∴

∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在上是增函數(shù).

由0<a<b,且f(a)=f(b),

可得 0<a1<b和

∴2ab=a+b>.……………………………………3分

,即ab>1.……………………………………4分

 (II)不存在滿足條件的實數(shù)a,b.

     若存在滿足條件的實數(shù)a,b,使得函數(shù)y=的定義域、值域都是

[a,b],則a>0.

    

①   當(dāng)時,在(0,1)上為減函數(shù).

     即 

解得  a=b.

故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………6分

②     當(dāng)時,上是增函數(shù).

     即 

此時a,b是方程的根,此方程無實根.

故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………8分

③     當(dāng),時,

由于,而,

故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.

      綜上可知,不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………10分

(III)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]時,值域為[ma,mb].

      則a>0,m>0.

①       當(dāng)時,由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),故.此時刻得a,b異號,不符合題意,所以a,b不存在.

②       當(dāng)時,由(II)知0在值域內(nèi),值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.

        故只有

上是增函數(shù),

     ∴        即 

a,  b是方程的兩個根.

即關(guān)于x的方程有兩個大于1的實根.……………………12分

設(shè)這兩個根為,

+=,?=

       即 

解得  

    故m的取值范圍是.…………………………………………14分

 

 

 

 


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