(Ⅰ)求證:, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問(wèn)的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實(shí)我們常借用構(gòu)造等式，對(duì)同一個(gè)量算兩次的方法來(lái)證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請(qǐng)利用此方法證明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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（Ⅰ）求證：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問(wèn)的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實(shí)我們常借用構(gòu)造等式，對(duì)同一個(gè)量算兩次的方法來(lái)證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請(qǐng)利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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一、選擇題:

A卷：CCABD    BDCBB    AA

二、填空題：

(13)        (14)    (15)    (16)

三、解答題：

(17)解：

（Ⅰ）由，得，  ∴

又，即，得……………4分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

得，即，…………………………7分

由知，，

∴，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴  ……………………………………………………10分

(18)解：

由，知，又，由正弦定理，有

，∴，，……3分

∴  ……………6分

        

         …………9分

∵，，  ∴，

故所求函數(shù)為，函數(shù)的值域?yàn)?sub>……………12分

（19）解：

      記顧客購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，獲一等獎(jiǎng)為事件，獲二等獎(jiǎng)為事件，不獲獎(jiǎng)為事件，則，，

（Ⅰ）該顧客購(gòu)買(mǎi)2件產(chǎn)品，中獎(jiǎng)的概率

  ……………4分

  （Ⅱ）該顧客獲得獎(jiǎng)金數(shù)不小于100元的可能值為100元，120元，200元，依次記這三個(gè)事件為、、，則

        ，………6分

        ，………8分

      ，………10分

    所以該顧客獲得獎(jiǎng)金數(shù)不小于100元的概率

……12分

（20）解法一：

      （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，則，

       又， ∴，四邊形是平行四邊形，

       ∴，又，，

       ∴ ……………………………………………………4分

      （Ⅱ）連結(jié)

        ∵，  ∴，

       又平面平面，∴

      而，  ∴

     作于，則，且，為的中點(diǎn)。

作于，連結(jié)，則，

 于是為二面角的平面角。…………………………8分

∵，，∴，

在正方形中，作于，則

，

∴，∴。

故二面角的大小為…………………………12分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

解法二：如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使軸，、分別在軸、軸上。

（Ⅰ）由已知，，，，，，，

∴， ，，

∵， ∴，

又，∴   ………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)為面的法向量，則，且。

∵，，

∴，取，，，則 ……………8分

又為面的法向量，所以，

因?yàn)槎娼?sub>為銳角，所以其大小為…………………………12分

（21）解：

     （Ⅰ） 

      令，，則………………2分

若，即，則恒有，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)�！�4分

若，即，或，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，且的變化如下：

－

由此，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)。

綜上所述，的取值范圍是…………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

∴

…………………………10分

令，得（舍去），，

所以，或…………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）記

                          ①

                            ②

②，得

，                 ③

由①、③，得，即……3分

由于，，則上面方程可化為

，即，所以，

將代入①式，整理，并注意，得

由于，所以

因此，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)…………………………6分

（注：直線和雙曲線聯(lián)立后，利用判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)也可）

（Ⅱ）雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在直線上， 點(diǎn)在直線上。

由，得點(diǎn)坐標(biāo)為，

由，得點(diǎn)坐標(biāo)為，…………………………9分

因?yàn)?sub>，

所以為線段的中點(diǎn)。…………………………12分

（注：若只計(jì)算、的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)判斷為線段的中點(diǎn)不扣分）

 

 

 


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