已知拋物線y=x²+px+q上有一點M（x₀，y₀）位于x軸下方．
（1）求證：此拋物線與x軸交于兩點；
（2）設此拋物線與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求證：x₁＜x₀＜x₂．

已知拋物線y=x²+kx-

3

4

k²（k為常數，且k＞0）．
（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸交于M、N兩點，若這兩點到原點的距離分別為OM、ON，且

1

ON

-

1

OM

=

2

3

，求k的值．

已知拋物線y=2x²-2（m-1）x-m．
（1）求證：無論m為任何實數，此拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸交于點A（x₁，0）、點B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂．
①當OA+OB=2時，求此拋物線的解析式；
②若拋物線與y軸交于點C，是否存在這樣的拋物線，使△ABC為直角三角形；若存在，求出拋物線的解析式；若不存在，說明理由．

已知拋物線y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常數）
（1）通過配方，寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）求證：不論k取任何實數，拋物線的頂點都在某一次函數的圖象上．并指出此一次函數的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為A（0，1），其頂點為B．試問：在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡述理由．