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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數。

（1）證明：

（2）若數列的通項公式為，求數列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設數列滿足：，設，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設函數

 （1）求函數的單調區(qū)間；

 （2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數，

（1）討論時, 的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。

（I）求數列的通項公式；

（II）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

（III）設數列的前項和為。已知正實數滿足：對任意正整數恒成立，求的最小值。

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一、選擇題：1―5：BACCB   6―10： CDDBA

二、填空題：

11．5600   12．35  13．   14．－2   15．，  

三、解答題：

16．解法一  由

       得

       所以

       即

       因為所以，從而

       由知 從而.

       由

       即

       由此得所以

解法二：由

       由、，所以

       即

       由得

       所以

       即            因為，所以

 

       由從而，知B+2C=不合要求.

       再由，得  所以

17．解法一（I）證明 由題設知OA⊥OO1，OB⊥OO1.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 故可以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

       如圖3，則相關各點的坐標是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，），O1（0，0，）.從而所以AC⊥BO1.

（II）解：因為所以BO1⊥OC，

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量. 設是0平面O1AC的一個法向量，

由    得.

設二面角O―AC―O1的大小為，由、的方向可知，>，

       所以cos，>=

       即二面角O―AC―O1的大小是

解法二（I）證明 由題設知OA⊥OO1，OB⊥OO1，

   所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 從而AO⊥平面OBCO1，

       OC是AC在面OBCO1內的射影.

       因為    ，

       所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1

       由三垂線定理得AC⊥BO1.

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.

       設OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC

       內的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC.

       所以∠O1FE是二面角O―AC―O1的平面角.

       由題設知OA=3，OO1=，O1C=1，

       所以，

       從而，    又O1E=OO1?sin30°=，

        所以  即二面角O―AC―O1的大小是

18．解：（I）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”

        為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，

       P（A3）=0.6.

       客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3. 相應地，客人沒有游覽的景點數的可能取

       值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3.

       P（=3）=P（A1?A2?A3）+ P（）

= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1    

3  

P

0.76

0.24

 

       所以的分布列為

        E=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一  因為

所以函數上單調遞增，

要使上單調遞增，當且僅當

從而

解法二：的可能取值為1，3.

當=1時，函數上單調遞增，

當=3時，函數上不單調遞增.0

所以

19．（Ⅰ）證法一：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是.

    所以點M的坐標是（）.    由

即

    證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設M的坐標是

所以      因為點M在橢圓上，所以 

即

   解得

   （Ⅱ）解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即

    設點F1到l的距離為d，由

    得   所以

    即當△PF1F­2­­為等腰三角形.

解法二：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，

設點P的坐標是，

則

由|PF1|=|F1F2|得

兩邊同時除以4a2，化簡得  從而

于是.    即當時，△PF1F2為等腰三角形.

20．解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

   （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得

       

        因為x1>0，所以a>b.

        猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.

   （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*

         由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

         0<xn<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.

        而x1∈(0, 2)，所以

        由此猜測b的最大允許值是1.

        下證 當x1∈(0, 2) ，b=1時，都有xn∈(0, 2), n∈N*

        ①當n=1時，結論顯然成立.

②假設當n=k時結論成立，即xk∈(0, 2),

則當n=k+1時，xk+1=xk(2－xk­)>0.

又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結論也成立.

由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

綜上所述，為保證對任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1.

21．解：（I），

則

因為函數h(x)存在單調遞減區(qū)間，所以<0有解.

又因為x>0時，則ax2+2x－1>0有x>0的解.

①當a>0時，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；

②當a<0時，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；

  則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時，－1<a<0.

  綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）.

   （II）證法一  設點P、Q的坐標分別是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2.

         則點M、N的橫坐標為

         C1在點M處的切線斜率為

         C2在點N處的切線斜率為

         假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則k1=k2.

         即，則

                 =

       所以  設則①

       令則

       因為時，，所以在）上單調遞增. 故

       則. 這與①矛盾，假設不成立.

       故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

證法二：同證法一得

       因為，所以

       令，得  ②

       令

       因為，所以時，

       故在[1，+上單調遞增.從而，即

       于是在[1，+上單調遞增.

       故即這與②矛盾，假設不成立.

       故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

 


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