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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)。

(1)證明:

(2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(3)設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),

若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù),恒成立,

試求的最大值。

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(本小題滿分14分)已知,點(diǎn)軸上,點(diǎn)軸的正半軸,點(diǎn)在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)軸上移動時,求動點(diǎn)的軌跡方程;

(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),又過、作軌跡的切線、,當(dāng),求直線的方程.

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(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)

 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

 (2)若當(dāng)時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 (3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿分14分)

已知,其中是自然常數(shù),

(1)討論時, 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求證:在(1)的條件下,

(3)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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(本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記。

(I)求數(shù)列的通項公式;

(II)記,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有

(III)設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實(shí)數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。

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說明:1.參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).

      2.對解答題中的計算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤,就不再給分.

      3.解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.

 

一、選擇題:本大題考查基本知識和基本運(yùn)算.共8小題,每小題5分,滿分40分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

C

B

A

D

D

 

二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只能選做二題,三題全答的,只計算前二題得分.第12題第1個空3分,第2個空2分.

9.2          10.79         11.0 或 2       12.16,

13.1         14.3          15.6

三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及運(yùn)算求解能力)

解:(1)

                 .                

,

∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>.                                     

(2)∵,∴

都為銳角,∴

                    

                  

           

的值為.                                      

 

17.(本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

解:(1)設(shè),∵幾何體的體積為

,                      

,

,解得

的長為4.                                           

(2)在線段上存在點(diǎn),使直線垂直.     

以下給出兩種證明方法:

方法1:過點(diǎn)的垂線交于點(diǎn),過點(diǎn) 

于點(diǎn)

,

平面

平面,∴

,∴平面

平面,∴.      

在矩形中,∵,

,即,∴

,∴,即,∴

中,∵,∴

由余弦定理,得

∴在線段上存在點(diǎn),使直線垂直,且線段的長為

方法2:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在的直線為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,由已知條件與(1)可知,,,,  

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)≤2,,0≤

使直線垂直,過點(diǎn)于點(diǎn)

 

,得

,

,∴,

,∴.       

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為,在線段上.

,∴

∴在線段上存在點(diǎn),使直線垂直,且線段的長為

18.(本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式等基礎(chǔ)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

解:設(shè)等比數(shù)列的首項為,公比為,

,成等差數(shù)列,

,,∴

解得.             

當(dāng)時,∵,,,         

∴當(dāng)時,,不成等差數(shù)列.

當(dāng)時,,成等差數(shù)列.下面給出兩種證明方法.

證法1:∵

                            

                            ,

∴當(dāng)時,,,成等差數(shù)列.

證法2:∵,          

              , 

∴當(dāng)時,,,成等差數(shù)列. 

19.(本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

解:(1)∵一次摸球從個球中任選兩個,有種選法,                         

任何一個球被選出都是等可能的,其中兩球顏色相同有種選法,

∴一次摸球中獎的概率.             

(2)若,則一次摸球中獎的概率,                  

三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),三次摸球恰有一次中獎的概率是

.                                    

(3)設(shè)一次摸球中獎的概率為,則三次摸球恰有一次中獎的概率為,,

,

上為增函數(shù),在上為減函數(shù).              

∴當(dāng)時,取得最大值.

,

解得

故當(dāng)時,三次摸球恰有一次中獎的概率最大.                 

 

20.(本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

(1)解法1:∵,其定義域?yàn)?sub>,  

.                

是函數(shù)的極值點(diǎn),∴,即.                                         

,∴.                                               

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時,是函數(shù)的極值點(diǎn),

.                                             

解法2:∵,其定義域?yàn)?sub>,

.               

,即,整理,得

,

的兩個實(shí)根(舍去),,

當(dāng)變化時,,的變化情況如下表:

0

極小值

依題意,,即,

,∴.                           

(2)解:對任意的都有成立等價于對任意的都有.                       

當(dāng)[1,]時,

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