已知，函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程；

(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使>g(x_o)成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）中，那么當(dāng)時(shí)，  又    所以函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為；（2）中令   有 

對(duì)a分類討論，和得到極值。（3）中，設(shè)，，依題意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當(dāng)時(shí)，  又    

∴  函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         當(dāng)即時(shí)

故的極大值是，極小值是

②         當(dāng)即時(shí)，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無(wú)極小值。 

綜上所述   時(shí)，極大值為，無(wú)極小值

時(shí)  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設(shè)，

對(duì)求導(dǎo)，得

∵，    

∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（，）

某省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時(shí)刻(時(shí)) 的關(guān)系為，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且．

（1）令, ，寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并選擇其中一種情形進(jìn)行證明；

（2）若用每天的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作，求；

（3）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

【解析】第一問(wèn)利用定義法求證單調(diào)性，并判定結(jié)論。

第二問(wèn)（2）由函數(shù)的單調(diào)性知，

∴，即t的取值范圍是． 

當(dāng)時(shí)，記

則 

∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

第三問(wèn)因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.

故當(dāng)時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)時(shí)超標(biāo)．

已知曲線C:(m∈R)

（1）   若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；

（2）     設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線。

【解析】（1）曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)解得，所以m的取值范圍是

(2)當(dāng)m=4時(shí)，曲線C的方程為，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，

由，得

因?yàn)橹本�與曲線C交于不同的兩點(diǎn)，所以

即

設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，則

直線BM的方程為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為

因?yàn)橹本�AN和直線AG的斜率分別為

所以

即,故A，G，N三點(diǎn)共線。