題目列表(包括答案和解析)
函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且
。
(1)求實數(shù)a,b,并確定函數(shù)的解析式;
(2)判斷在(-1,1)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(3)寫出的單調(diào)減區(qū)間,并判斷
有無最大值或最小值?如有,寫出最大值或最小值。(本小問不需要說明理由)
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式和奇偶性和單調(diào)性的綜合運用。第一問中,利用函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且
。
解得,
(2)中,利用單調(diào)性的定義,作差變形判定可得單調(diào)遞增函數(shù)。
(3)中,由2知,單調(diào)減區(qū)間為,并由此得到當(dāng),x=-1時,
,當(dāng)x=1時,
解:(1)是奇函數(shù),
。
即,
,
………………2分
,又
,
,
,
(2)任取,且
,
,………………6分
,
,
,
,
,
在(-1,1)上是增函數(shù)!8分
(3)單調(diào)減區(qū)間為…………………………………………10分
當(dāng),x=-1時,,當(dāng)x=1時,
。
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線
上是否存在兩點P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時,
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問當(dāng)時,
,令
得
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時,
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時,
,令
得
當(dāng)變化時,
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又,
,
!
在
上的最大值為2.
②當(dāng)時,
.當(dāng)
時,
,
最大值為0;
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增!
在
最大值為
。
綜上,當(dāng)時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為2;
當(dāng)時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此
。此時
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調(diào)遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線
上存在兩點P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com