題目列表(包括答案和解析)
(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)= 的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在,求出范圍;若不存在,請說明理由.
(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點(diǎn).
記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f(x)的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.
(1)若函數(shù)的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“穩(wěn)定點(diǎn)”,求證:f(x)必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點(diǎn)”.
(1)若函數(shù)的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“穩(wěn)定點(diǎn)”,求證:f(x)必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點(diǎn)”.
記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,則稱(x0,x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在,求出范圍;若不存在,請說明理由.
(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點(diǎn).
(1)若函數(shù)f(x)=的圖象上有兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn),求a、b滿足的條件;
(2)在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點(diǎn)分別為A、A′,P為函數(shù)f(x)的圖象上的另一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)yP>3,求點(diǎn)P到直線AA′距離的最小值及取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點(diǎn),則不動點(diǎn)有奇數(shù)個”是否正確?若正確,試給予證明,并舉出一例;若不正確,試舉一反例說明.
一、填空題
1. 2. 3.既不充分條件又不必要條件 4.[-4,-π][0,π]
5. 6.6 7. 8.2個 9.等腰直角三角形
10. 11.(-3,4),(-1,2) 12.①、②、⑤ 13.
14.C
二、解答題
15.(本小題滿分14分)
解:(1)設(shè)由得
它的解集為(1,3)得方程的兩根為1和3且a<0
即 ……(1) ……3分
有等根得
……(2) ……6分
由(1)(2)及得
故的解析式為 ……8分
(2)由
及 ……10分
由 ……12分
解得 ……14分
16.(本小題滿分14分)
解:由得, ………………………………2分
又
, ……………………………………6分
由得, …………………………10分
. ……14分
17.(本小題滿分15分).
已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為,且不等式的解集為.
(1)若方程有兩個相等的根,求的解析式;
(2)若的最大值為正數(shù),求的取值范圍.
解:(1)設(shè)由得
它的解集為(1,3)得方程的兩根為1和3且a<0
即 ……(1) ……3分
有等根得
……(2) ……6分
由(1)(2)及得
故的解析式為 ……8分
(2)由
及 ……10分
由 ……12分
解得 ……15分
18解:(1)當(dāng)m=2時,A=(-2,2),B=(-1,3)∴ AB=(-1,2).……5分
(2)當(dāng)m<0時,B=(1+m,1-m)
要使BA,必須,此時
當(dāng)m=0時,B=,BA;適合 ……10分
當(dāng)m>0時,B=(1-m,m+1)
要使BA,必須,此時0<m≤1. ……13分
∴綜上可知,使BA的實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-1,1] ……15分
法2
要使BA,必須,此時
∴使BA的實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-1,1] ……15分
18.(本小題滿分15分)
(1)解:由得,
. ………………2分
設(shè)
=<0(討論a>1和0<a<1),
得f(x)為R上的增函數(shù). ………………5分
(2)由, …………7分
即得, ………………9分
得1<m<. ………………10分
(3)f(x)在R上為增函數(shù))f(x) 當(dāng)時)f(x)-4的值恒為負(fù)數(shù), ………13分
而f(x)在R上單調(diào)遞增得f(2)-40, ………………15分
19.(本小題滿分16分)
解:(1)∵f(x+1)為偶函數(shù),
∴恒成立,
即(
∴.
∵函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x相切,
∴二次方程有兩相等實(shí)數(shù)根,
∴
………………6分
(2)
………………8分
即為方程的兩根
. ………………11分
∵m<n且.
故當(dāng);
當(dāng)k>1時,
當(dāng)k=1時,[m,n]不存在. ………………16分
20.(本小題滿分16分)
解:(1)若為函數(shù)f(x)不動點(diǎn),則有,
整理得 ① ………………2分
根據(jù)題意可判斷方程①有兩個根,且這兩個根互為相反數(shù),得
>
所以b=3 ,a>0 ………………4分
而 ,所以.
即b=3,a>0,且a≠9. ………………5分
(2)在(1)的條件下,當(dāng)a=8時,.
由 ,解得兩個不動點(diǎn)為,……6分
設(shè)點(diǎn)P(x ,y),則y>3 ,即 >3解得x<-3 . ………………8分
設(shè)點(diǎn)P(x,y)到直線A
. ………………10分
當(dāng)且僅當(dāng),即x=―4時,取等號,此時P(―4,4). ……12分
(3)命題正確. ………………13分
因?yàn)?sub>f(x)定義在R上的奇函數(shù),所以f(―0)=―f(0) ,所以0是奇函數(shù)f(x)的一個不動點(diǎn).
設(shè)c≠0是奇函數(shù)f(x)的一個不動點(diǎn),則f(c)=c ,由,所以―c也是f (x)的一個不動點(diǎn).
所以奇函數(shù)f(x)的非零不動點(diǎn)如果存在,則必成對出現(xiàn),故奇函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)個. ………………16分
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