在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB₁⊥BC₁,AB=CC₁=a,BC=b.

(1)設(shè)E、F分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn),求證:EF∥平面ABC;

(2)求證:A₁C₁⊥AB;

(3)求點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離.

 【必做題】本題滿分10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

過(guò)拋物線y²=4x上一點(diǎn)A(1，2)作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C(異于點(diǎn)A)在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足=λ₁；點(diǎn)F在線段BC上，滿足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，線段CD與EF交于點(diǎn)P．

(1)設(shè)，求；

(2)當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

已知函數(shù)；

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

（2）若函數(shù)，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】第一問(wèn)中，利用導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以 內(nèi)滿足恒成立，得到結(jié)論第二問(wèn)中，在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使成立，等價(jià)于不等式 在[1，e]上有解，轉(zhuǎn)換為不等式有解來(lái)解答即可。

解：（1），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以 內(nèi)滿足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)，

在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

（2）在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使成立，等價(jià)于不等式 在[1，e]上有解，設(shè)

 上的增函數(shù)，依題意需

實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）試討論關(guān)于x的方程：f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上的根的個(gè)數(shù)．