題目列表(包括答案和解析)
17世紀(jì),科學(xué)家們致力于運(yùn)動(dòng)的研究,如計(jì)算天體的位置,遠(yuǎn)距離航海中對(duì)經(jīng)度和緯度的測(cè)量,炮彈的速度對(duì)于高度和射程的影響等.諸如此類(lèi)的問(wèn)題都需要探究?jī)蓚(gè)變量之間的關(guān)系,并根據(jù)這種關(guān)系對(duì)事物的變化規(guī)律作出判斷,如根據(jù)炮彈的速度推測(cè)它能達(dá)到的高度和射程.這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景.
“function”一詞最初由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G.W.Leibniz,1646~1716)在1692年使用.在中國(guó),清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811~1882)在1859年和英國(guó)傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級(jí)》中首次將“function”譯做“函數(shù)”.
萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量,如坐標(biāo)、切線等.1718年,他的學(xué)生,瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J.Bernoulli,1667~1748)強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示.后來(lái),數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是判斷函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn).只要一些變量變化,另一些變量隨之變化就可以了.所以,1755年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707~1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量,以一種方式依賴于另一些變量,我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”.
當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家對(duì)于不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣,甚至抱懷疑態(tài)度.函數(shù)的概念仍然是比較模糊的.
隨著對(duì)微積分研究的深入,18世紀(jì)末19世紀(jì)初,人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)向前推進(jìn)了.德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805~1859)在1837年時(shí)提出:“如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng),則y是x的函數(shù)”.這個(gè)定義較清楚地說(shuō)明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個(gè)法則,使得取值范圍中的每一個(gè)值,有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了,不管這個(gè)法則是公式、圖象、表格還是其他形式.19世紀(jì)70年代以后,隨著集合概念的出現(xiàn),函數(shù)概念又進(jìn)而用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?duì)應(yīng)語(yǔ)言表述,這就是本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念.
綜上所述可知,函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需要緊密相關(guān),而且隨著研究的深入,函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá),這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程是一樣的.
你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景,談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會(huì)嗎?
1.探尋科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程,對(duì)指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)有什么現(xiàn)實(shí)意義?
2.萊布尼茲、狄利克雷等科學(xué)家有哪些品質(zhì)值得我們學(xué)習(xí)?
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問(wèn)中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時(shí),在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時(shí),令,對(duì)稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時(shí),在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,2),且拋物線的焦點(diǎn)為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí),求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問(wèn)中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">,這樣可知得到。第二問(wèn)中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時(shí),直線l方程為y=-x+3,此時(shí),x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當(dāng)m=-3時(shí),直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
已知向量(),向量,,
且.
(Ⅰ)求向量; (Ⅱ)若,,求.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算,以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用。
(1)問(wèn)中∵,∴,…………………1分
∵,得到三角關(guān)系是,結(jié)合,解得。
(2)由,解得,,結(jié)合二倍角公式,和,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴,…………1分
∵,∴,即 ① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得,,5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即,, …………7分
∴, ………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴,即,①……2分
又 ②
將①代入②中,可得 ③ …………………4分
將③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一 ∵,,∴,且……7分
∴,從而. …………………8分
由(Ⅰ)知, ; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴, 又,∴ ……11分
綜上可得 ………………………………12分
方法二∵,,∴,且…………7分
∴. ……………8分
由(Ⅰ)知, . …………9分
∴ ……………10分
∵,且注意到,
∴,又,∴ ………………………11分
綜上可得 …………………12分
(若用,又∵ ∴ ,
有時(shí)可用函數(shù)f(x)=描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度,其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N+),f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度,正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān).
(1)證明:當(dāng)x≥7時(shí),掌握程度的增加量f(x+1)-f(x)總是下降;
(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí),掌握程度是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科.
分析:根據(jù)已知條件作差,結(jié)合綜合法可以確定作差所得的函數(shù)為減函數(shù),從而得出結(jié)論;又根據(jù)函數(shù)模型代入數(shù)據(jù)可以解得參數(shù)a的近似值,通過(guò)對(duì)近似值所在區(qū)間加以判斷并選擇相應(yīng)的學(xué)科.
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