題目列表(包括答案和解析)
設(shè), .
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);
(3)如果對任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率,寫出切線方程;(2)存在,轉(zhuǎn)化解決;(3)任意的,都有成立即恒成立,等價(jià)于恒成立
已知函數(shù),是的一個(gè)零點(diǎn),又在 處有極值,在區(qū)間和上是單調(diào)的,且在這兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反.(1)求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),求使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.
從而 或即或
所以存在實(shí)數(shù),滿足題目要求.……………………12分
已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為d,為其前n項(xiàng)和,且滿足,.?dāng)?shù)列滿足,,為數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又時(shí),滿足,
,
第二問,①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等號(hào)在n=2時(shí)取得.
此時(shí) 需滿足.
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.
此時(shí) 需滿足.
第三問,
若成等比數(shù)列,則,
即.
由,可得,即,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又時(shí),滿足,
,
.
(2)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等號(hào)在n=2時(shí)取得.
此時(shí) 需滿足.
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.
此時(shí) 需滿足.
綜合①、②可得的取值范圍是.
(3),
若成等比數(shù)列,則,
即.
由,可得,即,
.
又,且m>1,所以m=2,此時(shí)n=12.
因此,當(dāng)且僅當(dāng)m=2, n=12時(shí),數(shù)列中的成等比數(shù)列
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)時(shí), 又 所以函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對a分類討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí), 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當(dāng)即時(shí)
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當(dāng)即時(shí),在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無極小值。
綜上所述 時(shí),極大值為,無極小值
時(shí) 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(,)
已知函數(shù);
(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
(2)若函數(shù),若在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中,利用導(dǎo)數(shù),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),所以 內(nèi)滿足恒成立,得到結(jié)論第二問中,在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使成立,等價(jià)于不等式 在[1,e]上有解,轉(zhuǎn)換為不等式有解來解答即可。
解:(1),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),
所以 內(nèi)滿足恒成立,即恒成立,
亦即,
即可 又
當(dāng)且僅當(dāng),即x=1時(shí)取等號(hào),
在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
(2)在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使成立,等價(jià)于不等式 在[1,e]上有解,設(shè)
上的增函數(shù),依題意需
實(shí)數(shù)k的取值范圍是
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