反思:對于形如y-3x的二元一次函數(shù)求最值,如果限制條件是表示的是幾何區(qū)域或曲線,常采用借助直線的截距來求.數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧.不僅在解決選擇題.填空題時發(fā)揮著奇特功效.而且在解決一些抽象問題中常起到事半功倍的效果.在運用過程中要特別注意以下問題:[例1]方程lgx = sinx的實根的個數(shù)為 ( ) A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個錯解:畫出y = lgx和y = sinx在同一坐標(biāo)系中的圖象.如圖所示. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例）

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（2012•葫蘆島模擬）我們常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：先兩邊同取自然對數(shù)得：lny=g（x）lnf（x），再兩邊同時求導(dǎo)得到：
1
y
•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•
1
f(x)
•f′（x），于是得到：y′=f（x）g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）•
1
f(x)
•f′（x）]，運用此方法求得函數(shù)y=x
1
x
的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�

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我們把形如y=f(x
)
φ(x)
 
的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對法數(shù)：在函數(shù)解析式兩邊求對數(shù)得lny=lnf(x
)
φ(x)
 
=φ(x)lnf(x)，兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得
y′
y
=φ′(x)lnf(x)+φ(x)
f′(x)
f(x)
，于是y′=f(x
)
φ(x)
 
[φ′(x)lnf(x)+φ(x)
f′(x)
f(x)
]，運用此方法可以求得函數(shù)y=
x
x
 
(x＞0)在（1，1）處的切線方程是
y=x
y=x
．

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我們把形如y=
b|x|-a
(a＞0，b＞0)的函數(shù)稱為“莫言函數(shù)”，并把其與y軸的交點關(guān)于原點的對稱點稱為“莫言點”，以“莫言點”為圓心，凡是與“莫言函數(shù)”圖象有公共點的圓，皆稱之為“莫言圓”．當(dāng)a=1，b=1時，在所有的“莫言圓”中，面積的最小值
3π
3π
．

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若函數(shù)f（x）滿足下列條件：在定義域內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M；反之，若x0不存在，則稱函數(shù)f（x）不具有性質(zhì)M．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=2x具有性質(zhì)M，并求出對應(yīng)的x0的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)h（x）=lg
a
x2+1
具有性質(zhì)M，求a的取值范圍；
（Ⅲ）試探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=
k
x
（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=logax（a＞0且a≠1）的函數(shù)，指出哪些函數(shù)一定具有性質(zhì)M？并加以證明．

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1.B   提示：在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)y = a |x|與y = |log a x|圖象，如圖

 

2.D提示： 如圖|OM| = 2，|AM| = ，|OA| = 1，∴k = tan∠AOM = 。

 

 

 

 

 

 

3.B提示： A=[0,4],B=[－4，0]，

4.D

5.B    提示：如圖

6.C  提示：而|z|表示

7.A  提示：T=2×8=16，則，令。

8.A  提示：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，易得。

9.A  提示：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=4x＋1，y=x＋2和y=－2x＋4的圖象，由圖可知，f（x）的最高點為。

10.D  提示：由可行域易知z=5x+y過點（1，0）時取得最大值5.

11.B 提示： f（x）= f（－x）= f（2－x），故f（x）的草圖如圖：

由圖可知，B正確。

12.C提示：設(shè)橢圓另一焦點為F2，（如圖），，又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點， ∴ON是△MF1F2的中位線， 

13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示：由f (2 + t) = f (2 ? t)知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又f (x) = x 2 + bx + c為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f (1) < f (4) < f (- 3).

14.1 < m < 5提示：設(shè)y 1 = x 2 ? 4|x| + 5，y 2 = m，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程x 2 ? 4|x| + 5 = m有四個不相等實根，只需使1 < m < 5.

 

 

 

 

 

 

15.

提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即.

 

 

 

 

 

 

16、

，

九、實戰(zhàn)演習(xí)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 方程的實根的個數(shù)為（    ）

    A. 1個      B. 2個      C. 3個      D. 4個

    2. 函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）

    A.                    B.

    C.            D.

   3. 若不等式的解集為則a的值為（     ）

    A. 1            B. 2            C. 3            D. 4

   4. 若時，不等式恒成立，則a的取值范圍為（    ）

A. （0，1）     B. （1，2）     C. （1，2]      D. [1，2]

   5  已知f(x)=(x?a)(x?b)?2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系為(    )

A  α＜a＜b＜β            B  α＜a＜β＜b

C  a＜α＜b＜β            D  a＜α＜β＜b

6.已知x＋y＋1=0,則的最小值是(    )

A.   B.     C.   D..

7.如圖,是周期為的三角函數(shù)y=f(x)的圖像,那么f(x)可以寫成(    )

A.sin(1＋x)     B.sin(－1－x)     C.sin(x－1)     D.sin(1－x)

8.方程x＋log3x=2,x＋log2x=2的根分別是α、β,那么α與β的大小關(guān)系是(    )

A.α>β     B.α<β    C.α=β    D.不確定.

9.

   

10. 在約束條件下，當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是(    )

A.         B.    C.         D.

11. 若不等式在(0,)內(nèi)恒成立,則a的取值范圍(   )

A.[ ,1)     B.( ,1)       C.(0, )     D.(0, ]

12.已知,關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是(    )

A.[－2,2]     B.[,2]     C.( ,2]      D.( ,2)

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請把答案直接填在題中橫線上.

13.曲線y=1+ (?2≤x≤2)與直線y=r(x?2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍___________.

14 . 若關(guān)于x的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為___________。

15.  函數(shù)的最小值為___________。  

16. 對于每個實數(shù)x,設(shè)f(x)是4x＋1,x＋2和－2x＋4三者中的最小者,則f(x)的最大值為_________.

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

    17. （12分）若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。

    18.（12分）設(shè)，試求方程有解時k的取值范圍。

19 （12分）已知圓C:（x＋2）2＋y2=1,點P（x,y）為圓C上任一點.

⑴求的最值.       ⑵求x－2y的最值.

20. （12分）設(shè)A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x?1)2+(y?)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值與最小值 

21. （12分）設(shè)f(x)=,a,b∈R,且a≠b.求證:|f(a)－f(b)|<|a－b|.

22  （12分）已知A（1，1）為橢圓=1內(nèi)一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點       求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值 

參考答案:

一、選擇題

    1. C   解析：畫出在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。

  2. D   解析：畫出的圖象

           

    情形1：              情形2：

3. B  解析：畫出的圖象，依題意，從而。

  4. C  解析：令，畫出兩函數(shù)圖象.

      

        a>1                              

若a>1，當(dāng)時，要使，只需使,∴；

若，顯然當(dāng)時，不等式恒不成立。

5  A  解析  a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的兩根，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖所示 

6. B 解析:方程x＋y＋1=0表示直線,而式子表示點(1,1)到直線上點的距離,因此式子的最小值就是點(1,1)到直線x＋y＋1=0的距離,由點到直線的距離公式可求.

7. D  解析:由周期為得,ω=1,令1×1＋φ=得, φ=－1.所以y=sin(x＋－1)=－sin(x－1)=sin(1－x).

8. A 解析:由題意有, log3x=2－x, log2x=2－x,在同一坐標(biāo)系中作出y=log3x,y=log2x,y=2－x的圖像,

易見α>β.

9. D  解析:k=tan60°=.

     

        (9題圖)                             (10題圖)

10. 解析:畫出可行域如圖

∵,∴在圖中A點和B點處,目標(biāo)函數(shù)z分別取得最大值的最小和最大.

∴zmax∈[7,8].故選D.

11. 解析:不等式變形為,令y1=x2,y2=logax,如圖

函數(shù)y2過點A()時,a=,為滿足條件的a邊界,故a的范圍是≤a＜1.

 

    

       (11題圖)                       (12題圖)

12.D. 解析:在坐標(biāo)系中畫出y=的圖象.

二、填空題

13. （］  解析  方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x?2)+4為過（2，4）的直線.     14.   解析:設(shè)，

畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使.

 15. 解析：對，它表示點（x，1）到（1，0）的距離;表示點（x，1）到點（3，3）的距離，于是表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。

16. 解析:在同一坐標(biāo)系中畫出三個函數(shù)的圖像,如圖, 由圖知, f(x)的最高點為A(),

所以, f(x)的最大值為.

三、解答題

  17. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，表示過原點的直線系，不等式的解,即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應(yīng)的x值。

由于不等式解集, 因此，只需要

    ∴a的取值范圍為（2，+）。

       

      (17題圖)                              (18題圖)

18. 解：將原方程化為：，

    ∴

    令，它表示傾角為45°的直線系，；

    令，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，

原方程有解，則兩個函數(shù)的圖象有交點，由圖知,

∴.   ∴k的取值范圍為

19 解：

   （1）                                   (2)

（1）設(shè)Q（1，2）,則的最值分別為過Q點的圓C的兩條切線的斜率.如圖

設(shè)PQ:y－2=k(x－1),即kx－y＋2－k=0

∴,∴k=或k=.

∴的最大值為,最小值為.

(2)令x－2y=b,即x－2y―b=0,為一組平行直線系,則x－2y=b的最值就是直線與圓相切時.如圖

由得,b=－2＋,或b=－2－.

∴x－2y的最大值為－2＋,最小值為－2－.

20.解  ∵集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點O為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點O′(1,)為圓心，a為半徑的圓  如圖所示 

∵A∩B≠，∴半圓O和圓O′有公共點 

∴當(dāng)半圓O和圓O′外切時，a最小.∴a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2?2

當(dāng)半圓O與圓O′內(nèi)切時， a最大 ∴a?a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2 

21.解:由y=得,y2－x2=1(y>x),表示的曲線為雙曲線的上支,且此雙曲線的漸近線為y=±x.

在曲線上任取兩點A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率為k,由雙曲線性質(zhì)得|k|<1.

∴,∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.

     

      (21題圖)                             (22題圖)

22  解  由可知a=3,b=,c=2，左焦點F1(?2,0),右焦點F2(2,0) 

如圖  由橢圓定義，｜PF1｜=2a?｜PF2｜=6?｜PF2｜,

∴｜PF1｜+｜PA｜=6?｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜?｜PF2｜

由｜｜PA｜?｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知

?≤｜PA｜?｜PF2｜≤  (當(dāng)P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；

當(dāng)P在AF2的反向延長線的P1處時，取左“=”號 )

即｜PA｜?｜PF2｜的最大、最小值分別為，? 

于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6? 


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