某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：(單位：萬(wàn)美元)

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，m為常數(shù)，且3≤m≤8．另外，年銷(xiāo)售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x²萬(wàn)美元的特別關(guān)稅．

(1)寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；

(2)如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)．

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某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬(wàn)美元）

項(xiàng)目 類(lèi)別	年固定成本	每件產(chǎn)品成本	每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)	每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)
A產(chǎn)品	20		10	200
B產(chǎn)品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，為常數(shù)，且。另外，年銷(xiāo)售件B產(chǎn)品時(shí)需上交萬(wàn)美元的特別關(guān)稅。
（1）寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)，與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)。

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某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：(單位：萬(wàn)美元)

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定，預(yù)計(jì)m∈[6,8]．另外，年銷(xiāo)售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x²萬(wàn)美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷(xiāo)售出去．

(Ⅰ)寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；

(Ⅱ)如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)？請(qǐng)你做出規(guī)劃．

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一、填空題：

1．   2．    3．    4．    5．    6．   7．    8．2009     9．4個(gè)     10．①②    11． 

二、選擇題：

12．B    13．C    14．D    15．D

三、解答題：

16．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，  

，，                                                          2分

所以                                                4分

（Ⅱ）因?yàn)槿�角�?sub>為正三角形，所以，，，                                                  5分

所以

                                               7分

所以

。                                        11分

17．方法一：（I）證明：連結(jié)OC，因?yàn)?sub>所以

又所以，                                    2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                    5分

（II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，              7分

在中，因?yàn)?sub>是直角斜邊AC上的中線，所以所以                          

所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                           12分

18．解：（Ⅰ）由年銷(xiāo)售量為件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>所以為增函數(shù)，

，所以時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為（萬(wàn)美元）                         

又，所以時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤(rùn)為460（萬(wàn)美元）                                            8分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大，為此，我們作差比較：

  10分

所以：當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤(rùn);

     當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；

     當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤(rùn)。12分

19．解：（1）當(dāng)時(shí)， ，成立，所以是偶函數(shù)；

                                                                         3分

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)所以是非奇非偶函數(shù)；                                                           6分

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)且,則

                  9分

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>且，所以

所以，

，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。  14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設(shè)，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。                                      7分

（另法：因?yàn)?sub>在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點(diǎn)O到直線的距離為

，又，

所以，

且。                                      10分

下面視提出問(wèn)題的質(zhì)量而定：

如問(wèn)題一：當(dāng)面積為時(shí)，求直線的方程。（）      得2分

問(wèn)題二：當(dāng)面積取最大值時(shí)，求直線的方程。（）       得4分

21．解：（1）

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                         4分

（2）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開(kāi)始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,                                  6分

從而=                         8分

    =                        10分

（3）證明：①若,則題意成立，                                   12分

②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即，

設(shè),則當(dāng)時(shí),，

從而此時(shí)命題成立；                                                       14分

③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立，

綜上所述,原命題成立。                                                     16分