(3)證明:對(duì)于數(shù)列.一定存在.使. 2009年上海市四校高三質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)f（x），g（x），若存在實(shí)數(shù)m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數(shù)h（x）是由“基函數(shù)f（x），g（x）”生成的。
（1）若f（x）=x2+3x和g（x）=-3x+4生成一個(gè)偶函數(shù)h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x-1由函數(shù)f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）試?yán)谩盎瘮?shù)f（x）=log4（4x+1），g（x）=x-1”生成一個(gè)函數(shù)h（x），使之滿足下列條件：
①是偶函數(shù)；②有最小值1；求出函數(shù)h（x）的解析式并進(jìn)一步研究該函數(shù)的單調(diào)性（無需證明）。

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（本小題滿分13分）

對(duì)于定義域分別為的函數(shù)，規(guī)定：

函數(shù)

若函數(shù),求函數(shù)的取值集合；

若，設(shè)為曲線在點(diǎn)處切線的斜率；而是等差數(shù)列，公差為1，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為。求證：；

若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)問，是否存在一個(gè)定義域?yàn)?sub>的函數(shù)及一個(gè)的值，使得，若存在請(qǐng)寫出一個(gè)的解析式及一個(gè)的值，若不存在請(qǐng)說明理由。

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（本題滿分15分）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”

   （I）證明：函數(shù)是集合M中的元素；

   （II）證明：函數(shù)具有下面的性質(zhì)：對(duì)于任意，都存在，使得等式成立。 

（III）若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質(zhì)證明：對(duì)集合M中的任一元素，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

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（本題滿分15分）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”
（I）證明：函數(shù)是集合M中的元素；
（II）證明：函數(shù)具有下面的性質(zhì)：對(duì)于任意，都存在，使得等式成立。 
（III）若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質(zhì)證明：對(duì)集合M中的任一元素，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

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解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1，且對(duì)于任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)成立數(shù)列(an)滿足a1＝f(0)，且(n∈N*)。

(1)

求f(0)的值

(2)

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

(3)

是否存在正數(shù)k，使對(duì)一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值，并證明，否則說明理由。

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一、填空題：

1．   2．    3．    4．    5．    6．   7．    8．2009     9．4個(gè)     10．①②    11． 

二、選擇題：

12．B    13．C    14．D    15．D

三、解答題：

16．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，  

，，                                                          2分

所以                                                4分

（Ⅱ）因?yàn)槿切?sub>為正三角形，所以，，，                                                  5分

所以

                                               7分

所以

。                                        11分

17．方法一：（I）證明：連結(jié)OC，因?yàn)?sub>所以

又所以，                                    2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                    5分

（II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，              7分

在中，因?yàn)?sub>是直角斜邊AC上的中線，所以所以                          

所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                           12分

18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>所以為增函數(shù)，

，所以時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為（萬美元）                         

又，所以時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤(rùn)為460（萬美元）                                            8分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大，為此，我們作差比較：

  10分

所以：當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤(rùn);

     當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；

     當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤(rùn)。12分

19．解：（1）當(dāng)時(shí)， ，成立，所以是偶函數(shù)；

                                                                         3分

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)所以是非奇非偶函數(shù)；                                                           6分

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)且,則

                  9分

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>且，所以

所以，

，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。  14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設(shè)，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。                                      7分

（另法：因?yàn)?sub>在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點(diǎn)O到直線的距離為

，又，

所以，

且。                                      10分

下面視提出問題的質(zhì)量而定：

如問題一：當(dāng)面積為時(shí)，求直線的方程。（）      得2分

問題二：當(dāng)面積取最大值時(shí)，求直線的方程。（）       得4分

21．解：（1）

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                         4分

（2）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,                                  6分

從而=                         8分

    =                        10分

（3）證明：①若,則題意成立，                                   12分

②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即，

設(shè),則當(dāng)時(shí),，

從而此時(shí)命題成立；                                                       14分

③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立，

綜上所述,原命題成立。                                                     16分

 

 

 

 


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