給出以下5個命題：
①曲線x²-（y-1）²=1按平移可得曲線（x+1）²-（y-3）²=1；
②設(shè)A、B為兩個定點，n為常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是該橢圓上的任意一點，延長F₁P到點M，使|F₂P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內(nèi)兩定點，平面內(nèi)一動點P滿足向量與夾角為銳角θ，且滿足 ，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內(nèi)，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為    ．

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已知橢圓C：的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁以拋物線的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數(shù)f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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1．A      2．C       3．B       4．A      5．C       6．C       7．D      8．C       9．D      10．B

1l．B      12．A

1．解析：，故選A．

2．解析：

       ，∴選C．

3．解析：是增函數(shù) 

       故，即

       又

       ，故選B．

4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經(jīng)過點．此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值（注意與反號）

由得

       ，故選A

5．解析：設(shè)有人投中為事件，則，

       故選C．

6．解析：展開式中能項；

       由，得，故選C．

7．解析：

       由得

，故選D．

8．略

9．解析：由得準(zhǔn)線方程，雙曲線準(zhǔn)線方程為

       ，解得，

       ，故選D．

10．解析：設(shè)正四面體的棱長為2，取中點為，連接，則為與所成的角，在中

，故選B．

11．解析：由題意，則，故選B．

12．解析：由已知，

       為球的直徑

       ，又，

       設(shè)，則

       ，

       又由，解得

       ，故選A．

另法：將四面體置于正方休中．

       正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．

二、

13．解析：在上的投影是．

14．解析：，且．

15．解析：，

       由余弦定理為鈍角

       ，即，

       解得．

16．

解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設(shè)棱長為，顯然與為平面內(nèi)兩條距離為的平行直線，它們在底面內(nèi)的射影、仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

設(shè)邊上的高為，則

．

18．（1）設(shè)甲、乙兩人同時參加災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件，則．

（2）記甲、乙兩人同時參加同一災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件，那么．

（3）隨機(jī)變量可能取得值為1，2，事件“”是指有兩人同時參加災(zāi)區(qū)服務(wù)，則，所以．

分布列是

1

2

19．解：（1）平面

              ∵二面角為直二面角，且，

平面              平面．

（2）（法一）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形，                  ，

二平面，由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系，則

              ，

              設(shè)平面的法向量分別為，則由

              得，而平面的一個法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由題設(shè)，即

              易知是首項為、公差為2的等差數(shù)列，

              ∴通項公式為，

       （2）由題設(shè)，，得是以公比為的等比數(shù)列．

              由得．

21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．

（2）證明：設(shè)、的坐標(biāo)分別為

             若直線有斜率時，其坐標(biāo)滿足下列方程組：

              ，        

              若沒有斜率時，方程為．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：，于是，

              解得或

              因，故．

（2）證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)．

所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而．

可知．函數(shù)的圖象按向量平移，即得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，

（3）證明；在曲線上作取一點，

       由知，過此點的切線方程為

．

令，得，切線與直線交點為．

令，得切線與直線交點為，直線與直線與直線的交點為（1，1）．

從而所圍三角形的面積為        

所以，圍成三角形的面積為定值2．

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