題目列表(包括答案和解析)
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設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足
【解析】(1)解:設(shè)點P的坐標為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點P的坐標為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點P的坐標為.
由P在橢圓上,有
因為,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
設(shè)橢圓(常數(shù))的左右焦點分別為,是直線上的兩個動點,.
(1)若,求的值;
(2)求的最小值.
【解析】第一問中解:設(shè),則
由得 由,得
②
第二問易求橢圓的標準方程為:
,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值.
解:設(shè), ……………………1分
則,由得 ①……2分
(1)由,得 ② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式,消去,并求得. ………………………3分
(2)解法一:易求橢圓的標準方程為:.………………2分
, ……4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值.…2分
解法二:, ………………4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值
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