題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意,,不等式 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當b<1時,;
當時,;
當b>2時,; ............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實數(shù)b的取值范圍是
已知
(1)求函數(shù)在上的最小值
(2)對一切的恒成立,求實數(shù)a的取值范圍
(3)證明對一切,都有成立
【解析】第一問中利用
當時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當,即時,,
第二問中,,則設(shè),
則,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減,,因為對一切,恒成立,
第三問中問題等價于證明,,
由(1)可知,的最小值為,當且僅當x=時取得
設(shè),,則,易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切,都有成立
解:(1)當時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當,即時,,
…………4分
(2),則設(shè),
則,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減,,因為對一切,恒成立, …………9分
(3)問題等價于證明,,
由(1)可知,的最小值為,當且僅當x=時取得
設(shè),,則,易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切,都有成立
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