已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問(wèn)當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問(wèn)假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又，，。∴在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx

&(k∈R)

，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間（a，b），使得當(dāng)a₁∈（a，b）時(shí)，數(shù)列{a_n}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由．

設(shè)二次函數(shù)f（x）=（k-4）x²+kx（k∈R），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間（a，b），使得當(dāng)a₁∈（a，b）時(shí)，數(shù)列{a_n}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）已知，求：log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)．

設(shè)二次函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿(mǎn)足.

（1）求函數(shù)的解析式和值域；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列在該區(qū)間上是遞增數(shù)列；

（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對(duì)任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由.