題目列表(包括答案和解析)
設函數(shù)
(1)當時,求曲線處的切線方程;
(2)當時,求的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用,表示出點的斜率值這樣可以得到切線方程。(2)中,當,再令,利用導數(shù)的正負確定單調(diào)性,進而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說明了在區(qū)間導數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。
解:(1)當……2分
∴
即為所求切線方程!4分
(2)當
令………………6分
∴遞減,在(3,+)遞增
∴的極大值為…………8分
(3)
①若上單調(diào)遞增。∴滿足要求。…10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時,不合題意。綜上所述,實數(shù)的取值范圍是
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當時單調(diào)遞減;當時單調(diào)遞增,故當時,取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當. 、
令則
當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.
故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.故當,即
從而,又
所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.
已知函數(shù)f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為4x-y+b=0,求實數(shù)a和b的值;
(2)若a<0,且對任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范圍.
【解析】第一問中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
第二問中,利用當a<0時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,結合構造函數(shù)和導數(shù)的知識來解得。
(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
(2)當a<0時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,
令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
∵g′(x)=-2x+1=(x>0),
∴-2x2+x+a≤0在x>0時恒成立,
∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,
∴a的取值范圍是
已知,函數(shù)
(1)當時,求函數(shù)在點(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個實數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。(1)中,那么當時, 又 所以函數(shù)在點(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對a分類討論,和得到極值。(3)中,設,,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當時, 又
∴ 函數(shù)在點(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當即時
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當即時,在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無極小值。
綜上所述 時,極大值為,無極小值
時 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設,
對求導,得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實數(shù)的取值范圍是(,)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設,若對任意,,不等式 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當b<1時,;
當時,;
當b>2時,; ............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實數(shù)b的取值范圍是
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