小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱之為直角酒杯,另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm,稱之為拋物線酒杯.

(1)請選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出拋物線酒杯的方程.

(2)一次,小明在游戲中注意到一個現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學(xué)數(shù)學(xué)知識研究一下,當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時,玻璃球一定會觸及酒杯杯底.你能幫助小明解決這個問題嗎?

(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細(xì)均勻、長度為2 cm的細(xì)棒,假設(shè)細(xì)棒的端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計,那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時,細(xì)棒在酒杯中位置如何?

設(shè)的最大值為M。

   （1）當(dāng)時，求M的值。

   （2）當(dāng)取遍所有實(shí)數(shù)時，求M的最小值；

       （以下結(jié)論可供參考：對于，當(dāng)同號時取等號）

   （3）對于第（2）小題中的，設(shè)數(shù)列滿足，求證：。

(本小題共12分)

一緝私艇在A處發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向,距離12 nmile的海面C處有一走私船正以10 nmile/h的速度沿東偏南方向逃竄.緝私艇的速度為14 nmile/h, 若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船，緝私艇應(yīng)沿北偏東的方向去追，求追及所需的時間和角的正弦值.

 

(本小題滿分12分)一緝私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東方向,距離12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿東偏南方向逃竄.緝私艇的速度為14 nmile/h, 若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船,緝私艇應(yīng)沿北偏東的方向去追,.求追及所需的時間和角的正弦值.