題目列表(包括答案和解析)
已知點(diǎn)(),過點(diǎn)作拋物線的切線,切點(diǎn)分別為、(其中).
(Ⅰ)若,求與的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
中∵直線與曲線相切,且過點(diǎn),∴,利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程,再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是,,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值
(Ⅰ)由可得,. ------1分
∵直線與曲線相切,且過點(diǎn),∴,即,
∴,或, --------------------3分
同理可得:,或----------------4分
∵,∴,. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率,
∴直線的方程為:,又,
∴,即. -----------------7分
∵點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分
故圓的面積為. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是,,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即, ………10分
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號.
故圓面積的最小值.
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