題目列表(包括答案和解析)
把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)的解析式; (2)若,證明:.
【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運用函數(shù)思想證明不等式。第一問中,利用設(shè)上任意一點為(x,y)則平移前對應(yīng)點是(x+1,y-2)代入 ,便可以得到結(jié)論。第二問中,令,然后求導(dǎo),利用最小值大于零得到。
(1)解:設(shè)上任意一點為(x,y)則平移前對應(yīng)點是(x+1,y-2)代入 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以.……4分
(2) 證明:令,……6分
則……8分
,∴,∴在上單調(diào)遞增.……10分
故,即
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當時單調(diào)遞減;當時單調(diào)遞增,故當時,取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當. 、
令則
當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.
故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.故當,即
從而,又
所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實數(shù),使對任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。
第二問中,利用存在實數(shù),使對任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即,即.
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù),使對任意的,不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設(shè),則.
設(shè),則,因為,有.
故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在,使得.
當時,有,當時,有.
從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.
又[來源:]
所以當時,恒有;當時,恒有;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
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