題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。
第二問中,利用存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即,即.
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設(shè),則.
設(shè),則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">,有.
故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在,使得.
當(dāng)時,有,當(dāng)時,有.
從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.
又[來源:]
所以當(dāng)時,恒有;當(dāng)時,恒有;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時單調(diào)遞減;當(dāng)時單調(diào)遞增,故當(dāng)時,取最小值
于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). ①
令則
當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.
故當(dāng)時,取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中,利用當(dāng)時,.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時,.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時,在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時,令,對稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時,在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時,, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
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