題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若在上的最大值為,求的值.
【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域為(0,2),.
當(dāng)a=1時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
第二問中,利用當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域為(0,2),.
(1)當(dāng)時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
(2)當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
設(shè)函數(shù).
(I)求的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)0<a<2時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【解析】第一問定義域為真數(shù)大于零,得到..
令,則,所以或,得到結(jié)論。
第二問中, ().
.
因為0<a<2,所以,.令 可得.
對參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
(I)定義域為. ………………………1分
.
令,則,所以或. ……………………3分
因為定義域為,所以.
令,則,所以.
因為定義域為,所以. ………………………5分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,
單調(diào)遞減區(qū)間為. ………………………7分
(II) ().
.
因為0<a<2,所以,.令 可得.…………9分
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
①當(dāng),即時,
在區(qū)間上,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
所以. ………………………10分
②當(dāng),即時,在區(qū)間上為減函數(shù).
所以.
綜上所述,當(dāng)時,;
當(dāng)時,
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意,,不等式 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當(dāng)b<1時,;
當(dāng)時,;
當(dāng)b>2時,; ............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實數(shù)b的取值范圍是
已知函數(shù).()
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立,然后分離參數(shù)法得到,進(jìn)而得到范圍;第二問中,在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)時,,故. …………5分
所以. …………6分
(2)令,定義域為.
在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令,得極值點,,
當(dāng),即時,在(,+∞)上有,此時在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;
當(dāng),即時,同理可知,在區(qū)間上遞增,
有,也不合題意; …………11分
② 若,則有,此時在區(qū)間上恒有,從而在區(qū)間上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
由此求得的范圍是. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時,函數(shù)的圖象恒在直線下方.
求“方程的解”有如下解題思路:設(shè),則在上單調(diào)遞減,且,所以原方程有唯一解.類比上述解題思路,方程的解集為 .
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