題目列表(包括答案和解析)
設(shè)點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().
(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時,若,
求證:;
(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:
“若,則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設(shè),
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線的焦點為,
設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;
解:(1)拋物線的焦點為,設(shè),
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
因為,所以,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線的焦點為,
設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;,
則,
.
故,,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過作
拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,
由及拋物線的定義得
,即.
因為上述表達(dá)式與點的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以.
(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)
③ 補充條件1:“點的縱坐標(biāo)()滿足 ”,即:
“當(dāng)時,若,且點的縱坐標(biāo)()滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),
分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,
及拋物線的定義得,即,則
,
又由,所以,故命題為真.
補充條件2:“點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:
“當(dāng)時,若,且點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)
已知數(shù)列的前項和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時,由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因為,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時, ,命題成立;
②假設(shè)時,命題成立,即,
則當(dāng)時,
即
即
故當(dāng)時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
已知向量(),向量,,
且.
(Ⅰ)求向量; (Ⅱ)若,,求.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運算,以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運用。
(1)問中∵,∴,…………………1分
∵,得到三角關(guān)系是,結(jié)合,解得。
(2)由,解得,,結(jié)合二倍角公式,和,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴,…………1分
∵,∴,即 ① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得,,5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即,, …………7分
∴, ………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴,即,①……2分
又 ②
將①代入②中,可得 ③ …………………4分
將③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一 ∵,,∴,且……7分
∴,從而. …………………8分
由(Ⅰ)知, ; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴, 又,∴ ……11分
綜上可得 ………………………………12分
方法二∵,,∴,且…………7分
∴. ……………8分
由(Ⅰ)知, . …………9分
∴ ……………10分
∵,且注意到,
∴,又,∴ ………………………11分
綜上可得 …………………12分
(若用,又∵ ∴ ,
求圓心在直線上,且經(jīng)過原點及點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解析】本試題主要考查的圓的方程的求解,利用圓心和半徑表示圓,首先設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(),然后利用,得到,從而圓心,半徑.可得原點 標(biāo)準(zhǔn)方程。
解:設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(),...........2分
則,即
,解得........4分
所以圓心,半徑...........8分
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.......10分
已知函數(shù)和的定義域分別是集合A、B,
(1)求集合A,B;
(2)求集合,.
【解析】本試題考查了集合的基本運算。第一問中,利用
由解得
由解得
第二問中,由(1)得
解:(1)由解得 ……………………3分
由解得 ……………………6分
(2)由(1)得 ……………………9分
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