題目列表(包括答案和解析)
如圖,已知直線()與拋物線:和圓:都相切,是的焦點.
(Ⅰ)求與的值;
(Ⅱ)設(shè)是上的一動點,以為切點作拋物線的切線,直線交軸于點,以、為鄰邊作平行四邊形,證明:點在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點所在的定直線為, 直線與軸交點為,連接交拋物線于、兩點,求△的面積的取值范圍.
【解析】第一問中利用圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去)
設(shè)與拋物線的相切點為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,
第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點的切線的方程為.
令,得切線交軸的點坐標為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因為是定點,所以點在定直線
第三問中,設(shè)直線,代入得結(jié)合韋達定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去). …………………(2分)
設(shè)與拋物線的相切點為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,. ……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點的切線的方程為.
令,得切線交軸的點坐標為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因為是定點,所以點在定直線上.…(2分)
(Ⅲ)設(shè)直線,代入得, ……)得, …………………………… (2分)
,
.△的面積范圍是
如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點。
(I) 證明:平面⊥平面
(Ⅱ)平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡單題.
【解析】(Ⅰ)由題設(shè)知BC⊥,BC⊥AC,,∴面, 又∵面,∴,
由題設(shè)知,∴=,即,
又∵, ∴⊥面, ∵面,
∴面⊥面;
(Ⅱ)設(shè)棱錐的體積為,=1,由題意得,==,
由三棱柱的體積=1,
∴=1:1, ∴平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1
解:(Ⅰ)設(shè):,其半焦距為.則:.
由條件知,得.
的右準線方程為,即.
的準線方程為.
由條件知, 所以,故,.
從而:, :.
(Ⅱ)由題設(shè)知:,設(shè),,,.
由,得,所以.
而,由條件,得.
由(Ⅰ)得,.從而,:,即.
由,得.所以,.
故.
已知,設(shè)和是方程的兩個根,不等式對任意實數(shù)恒成立;函數(shù)有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數(shù)的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了命題和函數(shù)零點的運用。由題設(shè)x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
當a∈[1,2]時,的最小值為3. 當a∈[1,2]時,的最小值為3.
要使|m-5|≤|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[1,2]恒成立,只須|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判別式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
可得到要使“P∧Q”為真命題,只需P真Q真即可。
解:由題設(shè)x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
當a∈[1,2]時,的最小值為3.
要使|m-5|≤|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[1,2]恒成立,只須|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判別式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
綜上,要使“P∧Q”為真命題,只需P真Q真,即
解得實數(shù)m的取值范圍是(4,8]
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