題目列表(包括答案和解析)
長度為()的線段AB的兩個端點A、B分別在軸和軸上滑動,點P在線段AB上,且滿足(為常數(shù),且).
(1)求點P的軌跡方程C;
(2)當(dāng)時,過點M(1,0)作兩條互相垂直的直線和,和分別與曲線C相交于點N和Q(N、Q都異于點M),試問△MNQ能不能是等腰三角形?若能,這樣的三角形有幾個;若不能,請說明理由.
長度為(>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且滿足(A為常數(shù),且).
(1)求點P的軌跡方程C;
(2)當(dāng)時,過點M(1,0)作兩條互相垂直的直線和,和分別與曲線C相交于點N和Q(N、Q都異于點M),試問△MNQ能不能是等腰三角形?若能,請說明這樣的三角形有幾個;若不能,請說明理由.
2 |
AP |
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2 |
PB |
2 |
AP |
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2 |
PB |
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.答案:A
解:依題意可知:由
顯然:但不能推出。
故選A ;
2.答案:D
解:依題意可知:設(shè)點,則在點P處的切線的斜率為,即,又
故選D ;
3.答案:C
解:依題意可知:由是奇函數(shù),
故選C ;
4.答案:A
解:依題意可知:由
故選A;
5.答案:C
解:如圖:函數(shù)是周期函數(shù),T=1。
故選C;
6.答案:A
解:依題意可知:由,,
又
。
故選A ;
7.答案:B
解:依題意可知:由圖可知:
。
8.答案:A
解:依題意可知:如圖,
,
則在中,;
則在中,;
則在中,;
故選A ;
9.答案:D
解:依題意可知:因表示與同方向的單位向量,
表示與同方向的單位向量,故,而,
又(+),說明向量與向量垂直,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知:向量所在直線 過向量所在線段中點,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),可逆推為等腰三角形。又與夾角為,故為等邊三角形。
故選D ;
10.答案:A
解:設(shè),在上,,,,排除D;在上,,,,排除B與C;故選A。
11.答案:B
解法一:正方體的八個頂點可確定條直線;條直線組成對直線;正方體的八個頂點可確定個面,其中12個四點面(6個表面,4個面對角面,2個體對角面),8個三點面;每個四點面上有條直線,6條直線組成對直線,12個四點面由12×15=180對直線組成;每個三點面上有條直線,3條直線組成對直線,8個三點面由8×3=24對直線組成;由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中,取出兩條,這兩條直線是異面直線的概率為;
解法二:正方體的八個頂點可確定個四面體,每個四面體中有三對異面直線,由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中,取出兩條,這兩條直線是異面直線的概率為;
12.答案:A
解:①正確;①中依題意可令,
當(dāng)時,在上為減函數(shù),
又因在區(qū)間為減函數(shù),故;
②錯誤;②中當(dāng)
當(dāng)
③錯誤;③中當(dāng)時,
④正確;
圓的對稱軸為直徑所在的直線,故原命題正確。
故答案為:A。
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在橫線上。
13.答案:
解:設(shè)P點的坐標(biāo)為,則
直線PQ的方程為:即,
Q點的坐標(biāo)為,R點的坐標(biāo)為,
故答案為:;
14.答案:
解:依題意可知:正四棱錐S―ABCD的底面正方形ABCD在過球心O的大圓上,設(shè)球半徑為R,AC=2R=,
;
設(shè)球心O到側(cè)面SAB的距離為,連接
,,過作于,
連接SM,則,
,
又4。
故答案為:;
15.答案:10
解:依題意可知:由令,故的系數(shù)為。
故答案為:10 ;
16.答案:③
解:依題意可知:①錯,因在上,為減函數(shù),而在上,為增函數(shù)。
②錯,因在上,為增函數(shù),而在上,為減函數(shù)。
③正確。因在上,為增函數(shù)。
④錯,因在上,為增函數(shù),而在上,為減函數(shù),故時,函數(shù)有極大值。
⑤錯,因在上,為增函數(shù),故時,函數(shù)沒有極大值。
故答案為:③;
三、解答題:本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
(17)解:,設(shè)中有個元素,顯然有,其中最大的一個是,由于是正整數(shù)集合,故且;
當(dāng)時,,此時不符合題意;
當(dāng)時,或或,顯然只有符合題意;
當(dāng)時,設(shè)其中,
此時令 ,
若,則 ,
不符合題意;
若,由于是正整數(shù)集合,故,
故時不符合題意;
綜上所述。
(18)解:令
故當(dāng)
(19)。答:與平面垂直的直線條數(shù)有1條為;
證法一:依題意由圖可知:連,
連,
;
證法二:依題意由圖建立空間直角坐標(biāo)系:
,
設(shè)與垂直的法向量為,則有:
,而,故。
(20)解:設(shè)S為勞動村全體農(nóng)民的集合,為季度勞動村在外打工的農(nóng)民的集合,則為季度勞動村沒有在外打工的農(nóng)民的集合,由題意有
所以
勞動村的農(nóng)民全年在外打工為,則
,
但,
所以,
即
。
故勞動村至少有的農(nóng)民全年在外打工。
(21)解:①作圖進行受力分析,如下圖示;
由向量的平行四邊形法則,力的平衡及解直角三角形等知識,得出:
② ∵,∴
故在上為減函數(shù),
∴當(dāng)逐漸增大時,也逐漸增大。
③要最小,則為最大,∴當(dāng)為時,最小,最小值是。
④要,則,∴當(dāng)為時,。
(22)解:(Ⅰ)C的焦點為F(1,0),直線l的斜率為1,所以l的方程為
將代入方程,并整理得
設(shè)則有
所以夾角的大小為
(Ⅱ)由題設(shè) 得
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