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題目列表(包括答案和解析)

如圖所示，平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A(0，4)、B(-2，0)、C(6，0)．過點A作AD∥x軸交拋物線于點D，過點D作DE⊥x軸，垂足為點E點M是四邊形OADE的對角線的交點，點F在y軸負半軸上，且F(0，-2).

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；

（2）當點P、Q從C、F兩點同時出發(fā)，均以每秒1個長度單位的速度沿CB、FA方向

運動，點P運動到O時P、Q兩點同時停止運動.設運動的時間為t秒，在運動過

程中，以P、Q、O、M四點為頂點的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數關

系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在拋物線上是否存在點N，使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形？若存在，直

接寫出點N的坐標；不存在，說明理由。

 


第23題圖（1）
 

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（9分）如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的東偏北30°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市東偏北60°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西60°方向，請你在主輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設的管道最短，并求AN的長.

第23題圖

 

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（9分）如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的東偏北30°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市東偏北60°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西60°方向，請你在主輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設的管道最短，并求AN的長.

第23題圖

 

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（9分）如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的東偏北30°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市東偏北60°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西60°方向，請你在主輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設的管道最短，并求AN的長.

第23題圖

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我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數學方法．請你用等面積法來探究下列兩個問題：

（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，請你用它來驗證勾股定理；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC= 4，BC=3，求CD的長度．

 

（第23題圖1）
 

（第23題圖2）
 
 


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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因為AD∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因為∠DAB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當∠DAB = 90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8；---------------------------8分

② 當AC為矩形紙片的對角線時，設AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

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      5. 
 
      
  
  
  
  
 
      
 
      
  
  
 
      
 
      
  
  
  
  
      
   
      
    
    
      
    
      圖②
       
       
       
       
       
       
      方法二：如圖②,延長BC、AE相交于點P      
      ∵在□ABCD中，AD∥BC
      ∴∠DAP＝∠APB                                             
 …………………………1分
      ∵AE平分∠DAB
      ∴∠DAP＝∠PAB          
                                    …………………………2分
      ∴∠APB＝∠PAB
      ∴AB＝BP                                                             
     ………………………3分
      ∵BF平分∠ABP
      ∴:AP⊥BF
      即AE⊥BF．                            
                               ………………………4分
      (2)方法一：線段DF與CE是相等關系，即DF＝CE      ………………5分
      ∵在□ABCD中，CD∥AB
      ∴∠DEA＝∠EAB
      又∵AE平分∠DAB
      ∴∠DAE＝∠EAB
      ∴∠DEA＝∠DAE
      ∴DE＝AD                                         ………………………6分
      同理可得，CF＝BC                               ………………………7分
      又∵在□ABCD中，AD＝BC
      ∴DE＝CF
      ∴DE－EF＝CF－EF
      即DF＝CE．                                        
………………………8分
      方法二：如右圖,延長BC、AE設交于點P，延長AD、BF相交于點O       …5分
      ∵在□ABCD中，AD∥BC
      ∴∠DAP＝∠APB                                              
    
      ∵AE平分∠DAB
      ∴∠DAP＝∠PAB                                             
    
      ∴∠APB＝∠PAB
      ∴BP＝AB 
      同理可得，AO＝AB                 

         
∴AO＝BP                                   ………………………6分
              ∵在□ABCD中，AD＝BC
              ∴OD＝PC
       又∵在□ABCD中，DC∥AB
             ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分
             ∴＝，＝
            
∴DF＝CE．                                        
                            ………………………8分
       
      6.　（1）（2）略　　�。�3）設BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x
      GD2=GE?GB=4－2     
DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）
      （4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個平方單位
       
       
      7．（本小題滿分5分）
      證明：∵  AB∥CD
      ∴                …………1分
      ∵  
      ∴  △ABO≌△CDO                
…………3分
      ∴                      …………4分
      ∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分
       
       
       
       
       
      11．證明：（1）①在和中，
      ，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      ②，
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      ，
       
      12．（本題7分）
      解：（1）在梯形中，，
      ，，
      ，
      ．
      ，
      ，
      ．
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      ，，
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      與的函數表達式是
      ；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
      （2）
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
      當時，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
       
       
       
      13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分
      分別是的中點，
      ．?????????????????? 3分
      又，．????????????????? 5分
      ．??????????????????????????????? 7分
      14.

      15．證明：四邊形是平行四邊形，，．
      ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
      平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
       
      16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      （2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當時，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
      17．解：（1）正方形中，，．
      又，因此，即菱形的邊長為．
      在和中，，
      ，，
      ．．
      ，，
      ，即菱形是正方形．
      同理可以證明．
      因此，即點在邊上，同時可得，
      從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      （2）作，為垂足，連結，
      ，，
      ，．
      ．
      在和中，，，
      ．
      ，即無論菱形如何變化，點到直線的距離始終為定值2．
      因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
      （3）若，由，得，此時，在中，．
      相應地，在中，，即點已經不在邊上．
      故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
      另法：由于點在邊上，因此菱形的邊長至少為，
      當菱形的邊長為4時，點在邊上且滿足，此時，當點逐漸向右運動至點時，的長（即菱形的邊長）將逐漸變大，最大值為．
      此時，，故．
      而函數的值隨著的增大而減小，
      因此，當時，取得最小值為．
      又因為，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分
      18.
      19．證明：在等腰中，，．
      　　　　　，，．又，
      　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      　　　　　．．
      　　　　　．．．?????????????????? 5分
      　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分
      　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
       
      20．解：（1）在矩形中，，，
      ．……………………1分
      　　　　，．
      　　　　，即，
		
      

      

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