(3)若..在(2)的條件下.設(shè)正方形的邊與線段相交于點(diǎn).求線段長(zhǎng)的最大值． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為
 
，數(shù)量關(guān)系為
 
．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外）畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）
（3）若AC=4
2
，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．
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如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

解答下列問(wèn)題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為      ，數(shù)量關(guān)系為      ．

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．

試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

 

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如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為     ，數(shù)量關(guān)系為     ．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

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如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為_(kāi)_____，數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外）畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）
（3）若AC=2，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

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如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為_(kāi)_____，數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外）畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）
（3）若AC=2，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因?yàn)锳D∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過(guò)點(diǎn)B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因?yàn)椤螪AB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當(dāng)∠DAB = 90°時(shí)，菱形ABCD為正方形，周長(zhǎng)最小值為8；---------------------------8分

② 當(dāng)AC為矩形紙片的對(duì)角線時(shí)，設(shè)AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長(zhǎng)最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

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          圖②
           
           
           
           
           
           
          方法二：如圖②,延長(zhǎng)BC、AE相交于點(diǎn)P      
          ∵在□ABCD中，AD∥BC
          ∴∠DAP＝∠APB                                             
 …………………………1分
          ∵AE平分∠DAB
          ∴∠DAP＝∠PAB          
                                    …………………………2分
          ∴∠APB＝∠PAB
          ∴AB＝BP                                                             
     ………………………3分
          ∵BF平分∠ABP
          ∴:AP⊥BF
          即AE⊥BF．                            
                               ………………………4分
          (2)方法一：線段DF與CE是相等關(guān)系，即DF＝CE      ………………5分
          ∵在□ABCD中，CD∥AB
          ∴∠DEA＝∠EAB
          又∵AE平分∠DAB
          ∴∠DAE＝∠EAB
          ∴∠DEA＝∠DAE
          ∴DE＝AD                                         ………………………6分
          同理可得，CF＝BC                               ………………………7分
          又∵在□ABCD中，AD＝BC
          ∴DE＝CF
          ∴DE－EF＝CF－EF
          即DF＝CE．                                        
………………………8分
          方法二：如右圖,延長(zhǎng)BC、AE設(shè)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AD、BF相交于點(diǎn)O       …5分
          ∵在□ABCD中，AD∥BC
          ∴∠DAP＝∠APB                                              
    
          ∵AE平分∠DAB
          ∴∠DAP＝∠PAB                                             
    
          ∴∠APB＝∠PAB
          ∴BP＝AB 
          同理可得，AO＝AB                 

             
∴AO＝BP                                   ………………………6分
                  ∵在□ABCD中，AD＝BC
                  ∴OD＝PC
           又∵在□ABCD中，DC∥AB
                 ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分
                 ∴＝，＝
                
∴DF＝CE．                                        
                            ………………………8分
           
          6.　（1）（2）略　　�。�3）設(shè)BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x
          GD2=GE?GB=4－2     
DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）
          （4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個(gè)平方單位
           
           
          7．（本小題滿分5分）
          證明：∵  AB∥CD
          ∴                …………1分
          ∵  
          ∴  △ABO≌△CDO                
…………3分
          ∴                      …………4分
          ∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分
           
           
           
           
           
          11．證明：（1）①在和中，
          ，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
          ．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
          ②，
          ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
          ，
           
          12．（本題7分）
          解：（1）在梯形中，，
          ，，
          ，
          ．
          ，
          ，
          ．
          ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
          ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
          ，，
          ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
          與的函數(shù)表達(dá)式是
          ；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
          （2）
          ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
          當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
           
           
           
          13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分
          分別是的中點(diǎn)，
          ．?????????????????? 3分
          又，．????????????????? 5分
          ．??????????????????????????????? 7分
          14.

          15．證明：四邊形是平行四邊形，，．
          ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
          平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
          ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
          ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
          又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
           
          16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
          ②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
          （2）不合理．例如，對(duì)兩個(gè)相似而不全等的矩形來(lái)說(shuō)，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當(dāng)時(shí)，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
          17．解：（1）正方形中，，．
          又，因此，即菱形的邊長(zhǎng)為．
          在和中，，
          ，，
          ．．
          ，，
          ，即菱形是正方形．
          同理可以證明．
          因此，即點(diǎn)在邊上，同時(shí)可得，
          從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
          （2）作，為垂足，連結(jié)，
          ，，
          ，．
          ．
          在和中，，，
          ．
          ，即無(wú)論菱形如何變化，點(diǎn)到直線的距離始終為定值2．
          因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
          （3）若，由，得，此時(shí)，在中，．
          相應(yīng)地，在中，，即點(diǎn)已經(jīng)不在邊上．
          故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
          另法：由于點(diǎn)在邊上，因此菱形的邊長(zhǎng)至少為，
          當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為4時(shí)，點(diǎn)在邊上且滿足，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)逐漸向右運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)（即菱形的邊長(zhǎng)）將逐漸變大，最大值為．
          此時(shí)，，故．
          而函數(shù)的值隨著的增大而減小，
          因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
          又因?yàn)?sub>，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分
          18.
          19．證明：在等腰中，，．
          　　　　　，，．又，
          　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
          　　　　　．．
          　　　　　．．．?????????????????? 5分
          　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分
          　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
           
          20．解：（1）在矩形中，，，
          ．……………………1分
          　　　　，．
          　　　　，即，
		
          

          

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