題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對(duì)任意,,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問(wèn)中,若對(duì)任意不等式恒成立,問(wèn)題等價(jià)于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對(duì)任意不等式恒成立,
問(wèn)題等價(jià)于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點(diǎn),這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn),
故也是最小值點(diǎn),所以; ............6分
當(dāng)b<1時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)b>2時(shí),; ............8分
問(wèn)題等價(jià)于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是
已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓點(diǎn),橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+=0相切。
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P(4,0),A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連接PB交隨圓C于另一點(diǎn)E,證明直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn)Q;
【解析】(1)離心率為得=,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+=0相切,b==,解得a2=4,b2=3;(Ⅱ)直線(xiàn)PB的方程為y=k(x-4)
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